Пуанкаре

Если «теорема возвращения» породила в ученой среде неуемную вспышку страстей, то другая теорема Пуанкаре, наоборот, погасила тот азарт, который в течение двух веков сопутствовал одной проблеме небесной механики. Целых два столетия математики и механики, словно средневековые алхимики в погоне за философским камнем, вели неустанные поиски «первых интегралов» небесномеханических задач. Заманчивы были эти математические образования, построенные на основе известных законов сохранения. Согласно одному закону сохранения, если на механическую систему не действуют извне никакие силы, то центр масс ее либо остается неподвижным, либо же движется по прямой с постоянной скоростью. Так, если считать, что на Солнце и планеты не действует притяжение со стороны звезд, то центр масс солнечной системы перемещается равномерно и прямолинейно в направлении созвездия Геркулеса со скоростью 20 километров в секунду. Поскольку движение происходит в трехмерном пространстве, то можно записать шесть предельно простых математических соотношений для составляющих скорости центра масс по трем направлениям (они либо равны нулю, либо постоянны) и для трех его пространственных координат, указывающих положение этой точки. Такие соотношения между координатами и скоростями, которые, подобно «интегральным инвариантам», остаются постоянными при движении механической системы, получили название «первых интегралов». Закон сохранения момента количества движения системы дает три дополнительных «первых интеграла». И наконец, запись третьего закона сохранения — закона сохранения энергии — представляет собой еще один «первый интеграл».

«Первые интегралы» поставляли ученым уже готовые соотношения между координатами и скоростями, полученные без интегрирования дифференциальных уравнений движения. Этот обходный маневр решения задач динамики был известен давно. Лаплас в своем «Трактате» описывает и применяет все «первые интегралы» механических систем, а в XIX веке им присваивают уже почетно-возрастной титул «классические». Несмотря на общепринятое для них название, эти выражения в отличие от «интегральных инвариантов» не содержат никаких интегралов и представляются чисто алгебраическими соотношениями, которые оказывают неоценимую помощь при исследовании различных задач механики. К сожалению, их было только десять. А для полного решения задачи трех тел, например, требовалось восемнадцать «первых интегралов». Поэтому не прекращались упорные поиски недостающих «первых интегралов», которые вместе с «классическими» позволили бы получать окончательные результаты для основных задач небесной механики, минуя все неприятности, связанные с интегрированием дифференциальных уравнений. Но каждый раз, как ученые узнавали об открытии нового математического соотношения, сохраняющего постоянное значение при движении системы, рано или поздно обнаруживалось, что оно является комбинацией уже известных «первых интегралов» и не несет никаких новых возможностей. «Первые интегралы» небесной механики уподобились великим загадкам математики — квадратуре круга, трисекции угла и другим, над решением которых тщетно билось не одно поколение ученых. Не видно было конца этой бесплодной трате усилий.

Первый предостерегающий сигнал прозвучал в 1887 году, когда немецкий астроном и математик Г. Брунс строго доказал, что всякий новый «первый интеграл» задачи трех тел, выражаемый алгебраическим соотношением, непременно будет представлять собою некоторую комбинацию старых, «классических» интегралов. Теорема Брунса заставляла задуматься. Десять известных «первых интегралов» алгебраического типа исчерпывали собою все алгебраические соотношения, обладающие нужными свойствами. Естественно было теперь обратиться к поискам среди более сложных математических выражений — трансцендентных. Ведь ни одного трансцендентного «первого интеграла» еще не обнаружили. Поэтому, открыв такой «интеграл», можно быть твердо уверенным, что он действительно новый, поскольку из алгебраических «интегралов» его никак не составишь. Не относятся ли все недостающие «первые интегралы» к трансцендентным? Вопрос этот волновал теперь многих, в том числе Пуанкаре. Он начинает свое исследование проблемы и через некоторое время приходит к более общему утверждению о том, что уравнения движения задачи трех тел не допускают не только алгебраических, но и трансцендентных «первых интегралов», отличных от «классических». Это доказательство изложено в пятой главе первого тома «Новых методов», которая так и называется: «Несуществование однозначных интегралов». После такого усиления новая теорема небесной механики положила конец всяким поискам недостающих «первых интегралов». Сейчас этот фундаментальный результат известен под именем теоремы Брунса — Пуанкаре.[27]