Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Некоторые динамические системы демонстрируют поведение, которое кажется стихийным, но это справедливо не всегда. Например, камень, брошенный ребенком, описывает параболическую траекторию, и его движение представляет собой динамическую систему, которая при этом полностью предсказуема. Даже динамические системы высокой сложности могут порождать очень простые модели. В целом хаотичное или нехаотичное поведение системы задано как законами, управляющими ею, так и начальными условиями движения.

Теория хаоса изучает динамические системы, поведение которых непредсказуемо, причем хаотичное поведение могут демонстрировать даже простые системы.

Рассмотрим функцию под названием логистическое отображение, которое описывает движение только в одном измерении, с единственной координатой х. Предположим, что мы начинаем с некоторого числа х: логистическое отображение дает нам правило для получения следующего х с помощью простых умножений и вычитаний.

Математическая формула для его нахождения следующая:

x_{n + 1} = r·x_n·(1 — x_n),

где r — некий параметр, который мы можем произвольно изменить.

Предположим, что мы берем r = 4 и начинаем с х₁= 0,5. Тогда х₂ равно:

х₂ = 4·0,5·(1 – 0,5) = 1.

Следуя тому же правилу, х₃  равно:

х₃ = 4·1·(1 – 1) = 0.

И так далее.

Оказывается, что если выбирать значения r от 3,56995 до 4, то поведение логистического отображения оказывается непредсказуемым: малейшие изменения первого значения х порождают абсолютно разные значения последующих значений х. Это хаотическое поведение можно проиллюстрировать бифуркационной диаграммой, изображенной ниже, которая показывает возможные конечные значения х для каждого значения r. На диаграмме видно, как диапазон возможных значений х становится огромным при некотором значении r, а это признак хаотического поведения.

Изучение хаотических систем стало возможным благодаря прогрессу в вычислениях в последние десятилетия. Компьютерное моделирование позволило классифицировать все траектории системы и, следовательно, сделать качественный прогноз их поведения. Возможно, если бы в конце XIX века уже существовали компьютеры, изучение газовой динамики пошло бы по пути, сильно отличающемуся от того, который привел к развитию статистической механики. Однако ограниченные вычислительные возможности заставили физиков и математиков искать другие способы прогнозирования для объектов высокой сложности.

Применение динамических систем

Изучение динамических систем — крайне актуальная область, необходимая для решения множества проблем, начиная от создания искусственного интеллекта до решения биологических задач. Идея состоит в том, чтобы смоделировать систему, развитие которой в абстрактном пространстве задано рядом правил. Затем изучаются различные возможные траектории развития и выводятся их общие характеристики.

Любой газ можно считать динамической системой. Его положение в фазовом пространстве определяется положениями и импульсами всех его частиц, а изменение его состояния определяется уравнениями Гамильтона. Теория динамических систем может быть применена для вывода некоторых общих характеристик поведения газов, к которым затем можно будет применить другие инструменты, такие как вероятность или статистика. При изучении газовой динамики нужно различать два режима газа: в состоянии равновесия или вне него. Анализировать газ в состоянии равновесия, то есть газ, состояние которого не меняется, относительно просто, и эта задача была решена Людвигом Больцманом (1844–1906) в конце XIX века без применения инструментов, связанных с динамическими системами. Его работу подробнее мы рассмотрим в главе 3. Проблема газа вне равновесия намного сложнее и до сих пор полностью не решена, хотя начиная с 70-х годов прошлого века в ее решении произошел значительный прогресс именно благодаря применению теории динамических систем. Более подробно об этом мы расскажем в главе 5.

Помимо изучения газов, динамические системы имеют очень широкое применение. Так, их можно использовать для описания заражения инфекционными заболеваниями. Используя координаты зараженной области в качестве точки фазового пространства и характеристики изучаемого вируса в качестве правил изменения, можно смоделировать следствия и, соответственно, предусмотреть некоторые профилактические меры. Различные траектории динамической системы показывают различные варианты развития заболеваемости, что позволяет выработать оптимальную стратегию преодоления инфекции.