Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

АНРИ ПУАНКАРЕ (1854–1912)

Этот французский физик и математик внес огромный вклад в обе науки. Кроме того, что он был первооткрывателем детерминированного хаоса, Пуанкаре первым изучил свойства уравнений Гамильтона в качественном виде, получив огромное количество данных о поведении их решений.

Пуанкаре также был ключевой фигурой в развитии топологии, изучающей характеристики форм и пространств, которые остаются постоянными после деформации. Выдвинутая им гипотеза о свойствах сферы была доказана всего лишь десять лет назад. Кроме работ в области математики, Пуанкаре был одним из авторов специальной теории относительности и получил верные преобразования пространственно-временных координат еще до того, как Эйнштейн сформулировал свою теорию. Поэтому наиболее общие преобразования координат в релятивизме называются преобразованиями Пуанкаре.

Ученый не ограничивался математикой, а был еще и горным инженером и в течение жизни работал над различными инженерными проектами, такими как развитие сети французских железных дорог.

* * *

В 1860 году, в честь дня рождения короля Швеции и Норвегии Оскара II (1829–1907), был проведен конкурс, посвященный решению проблемы трех тел. Победившая статья должна была быть напечатана в математическом журнале под патронатом самого короля.

Пуанкаре, который уже тогда был известным математиком, представил статью с возможным решением и выиграл конкурс. Однако незадолго до публикации в его математических рассуждениях обнаружилась важная ошибка, и Пуанкаре вынужден был исправить ее, добавив сотню страниц к оригиналу. И все же конечный результат, хотя и содержал революционное открытие, не решал проблему. Пуанкаре удалось доказать, что невозможно найти ее аналитическое решение, то есть можно решить проблему трех тел с помощью компьютера, используя приближения, но не существует точной математической формулировки, чтобы это решение описать.

Ученый изучал различные возможные орбиты в фазовом пространстве и сделал важнейшее открытие: минимальные различия в начальном положении трех тел дают огромные расхождения в их конечном положении. То есть похожие начальные условия порождают абсолютно разные орбиты. При одной и той же отправной точке может получиться так, что одно из тел отлетит вдаль или будет описывать непериодические случайные орбиты. При данных начальных положениях и импульсах спрогнозировать последующее поведение трех тел невозможно. Сегодня это называется чувствительностью к начальным условиям и является одним из необходимых условий хаоса.

Чувствительность к начальным условиям могла объяснить явления, которые, как казалось до последнего времени, противоречат ньютоновой механике. Если Вселенная представляет собой отлаженный механизм, в ней нет места случайным фактам: когда мы подбрасываем игральный кубик, результат предопределен и может быть предсказан с помощью уравнений Гамильтона. Однако кубик — это система, чувствительная к начальным условиям, так что наименьшее отклонение от начальной скорости и положения ведет к совершенно другому результату. При таком подходе случайность — это только проявление этого свойства, общего для сложных систем, в которых больше одной частицы, как в случае с газами.

Открытие Пуанкаре, с одной стороны, радует, потому что объясняет такое явление, как случайность, в рамках законов физики, но с другой стороны — обескураживает: чувствительность к начальным условиям делает поведение некоторых систем непредсказуемым. Это крайне неудобно, особенно если учесть, что любая физическая система состоит из большого числа взаимно притягивающихся и взаимно отталкивающихся тел, таких как атомы или электроны, и, следовательно, любая система превращается в потенциально непредсказуемую.

Конечно, ситуация не так безнадежна, как может показаться на первый взгляд, но для того, чтобы осознать это, необходимы новые математические инструменты, которые позволили бы изучать нелинейные системы, то есть системы с хаотическими элементами.