Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Другой способ, помогающий наглядно представить пространства высокой размерности, связан, как ни странно, с сокращением количества измерений. Большинство движений, которые могут быть изучены, происходят на самом деле в двух измерениях: например, вращение Земли вокруг Солнца совершается по орбите в виде эллипса и может быть схематически отображено на бумаге без каких-либо затруднений. Таким образом, для представления движения нам нужно только два измерения, а третье мы можем использовать для других интересующих нас величин, таких как энергия или импульс. То есть мы можем использовать пространственные измерения для представления величин, никак не связанных с пространством.

Фазовое пространство

Познакомившись с n-мерными пространствами, мы можем рассмотреть, как они используются для описания поведения молекул газа. Для начала сосредоточим внимание на одной частице, а затем расширим анализ на неограниченное их число.

Вспомним, что положение частицы может быть описано с использованием любого типа координат, необязательно в прямоугольной системе. Поскольку наше пространство имеет три измерения, нам необходимо три числа для указания положения частицы. Координаты могут быть любыми, так что обозначим их через q и добавим какой-нибудь индекс: q₁, q₂ и q₃.

Однако знание положения частицы не дает нам достаточно информации для возможности прогнозировать ее поведение. Для этого мы должны также знать, в каком направлении частица движется и с какой скоростью. В качестве варианта мы можем использовать импульс, который является произведением массы частицы на скорость (этот способ предпочитают физики, поскольку он значительно упрощает вычисления).

Для определения как импульса, так и скорости также нужно три числа. Предположим, что кто-то говорит нам: «Автомобиль выезжает на скорости 100 км/ч из Стамбула. За сколько времени он доедет до Москвы?» Ответ зависит от того, в каком направлении он едет: если авто выезжает на юг, поездка окажется очень длинной, потому что водителю придется обогнуть земной шар, но если он поедет напрямую в сторону Москвы, то прибудет на место намного раньше. Итак, недостаточно знать скорость автомобиля, нам нужно и число для определения направления. Кроме того, если бы у автомобиля была возможность летать, нам понадобилось бы и третье число, чтобы показать, что он движется не вверх, а горизонтально.

Другой способ понимания заключается в том, что у скорости есть три составляющие, по одной для каждого возможного направления. Каждая составляющая говорит нам о скорости, с которой объект движется в этом направлении. Поскольку импульс частицы — это масса, умноженная на скорость, нам также нужны три составляющие, по одной для каждой составляющей скорости.

Так как мы используем обобщенные координаты, каждой координате приписывается обобщенный импульс, обозначенный буквой р. Координате q₁ соответствует импульс p₁ и так далее.

Следовательно, чтобы представить частицу, нам нужно шесть чисел: три для положения и три для импульса, и это означает, что частица движется по шестимерному пространству. Положение частицы можно представить математически, записав три положения, а затем три импульса. Если обозначить положение в этом абстрактном пространстве положений и импульсов через r, мы можем его выразить следующим образом:

r = (q₁, q₂, q₃, p₁, p₂, p₃)

Пространство положений и импульсов называют фазовым пространством. Можно сказать, что частица описывает определенную траекторию в фазовом пространстве: как положение, так и импульс меняются во времени, следуя правилам, заданным уравнениями Гамильтона. Мы можем представить траекторию в фазовом пространстве точно так же, как мы это делаем в обычной жизни: нужно только помнить, что часть этих положений на самом деле представляют собой скорость частицы.

Теперь мы можем рассмотреть проблему многих частиц. Мы знаем, что для того, чтобы определить частицу в фазовом пространстве, нам нужно шесть чисел.

Сколько чисел потребуется для двух частиц? Шесть для первой и шесть для второй, то есть 12. Итак, систему из двух частиц можно рассматривать так, будто речь идет об одной частице, движущейся в 12-мерном пространстве. Поскольку уравнения Гамильтона работают для любого числа измерений, мы должны будем всего лишь решить большее число уравнений, и в этом преимущество его математической разработки.

Из предыдущих рассуждений можно сделать вывод, что каждый раз, когда мы будем добавлять частицу, нам потребуются еще шесть чисел: три для ее положения и три для ее импульса. Следовательно, для системы из N частиц число координат, которые нам понадобятся, равно 6N. То есть система из N частиц соответствует одной частице, движущейся по пространству из 6N измерений. Хотя в это и не верится, но решить задачу с частицей, движущейся по пространству из 6N измерений, легче, чем задачу с шестью измерениями для каждой частицы.

Положение частицы на фазовой диаграмме можно представить как группу чисел, разделенных запятыми:

r = (q₁, q₂, q₃, p₁, p₂, p₃)