Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

В трехмерном пространстве объем куба также вычисляется умножением длин трех его сторон. Следовательно, в четырех измерениях нужно перемножить длины четырех его сторон. То есть гиперобъем гиперкуба со стороной два метра равен:

2·2·2·2 = 16 м⁴.

Можно ли представить трехмерный куб в двух измерениях? Конечно, мы делаем это постоянно.

Обратите внимание на то, как мы получили эту фигуру: сначала мы нарисовали два квадрата, то есть кубы в двух измерениях, и соединили их вершины. Результат — изображение трехмерного куба в перспективе. Как видите, мы изобразили на двумерном листе бумаги фигуру, существующую в пространстве, количество измерений которого на единицу больше, чем два.

Мы можем использовать этот же прием для того, чтобы нарисовать четырехмерный куб. Для этого нарисуем два трехмерных куба следующим образом.

Затем соединим все вершины и получим изображение четырехмерного куба, или гиперкуба, в перспективе.

Двумерная проекция гиперкуба.

* * *

СКОЛЬКО ГРАНЕЙ У ГИПЕРКУБА

Сначала нужно определить, что мы называем гранью. Если мы говорим о квадрате, является ли гранью каждая из его сторон? Или речь идет о его площади? Если речь идет о площади, то на самом деле мы задаемся вопросом, сколько квадратов — или двумерных кубов — есть в квадрате. Очевидно, что у квадрата только одна грань, образованная двумерным кубом.

Итак, мы хотим узнать, сколько граней, или двумерных кубов, содержится в четырехмерном кубе. Мы знаем, что в трехмерном кубе шесть двумерных кубов: по одному на каждую грань фигуры. Математическая задача, которая стоит перед читателем, — понять, сколько двумерных кубов в одном четырехмерном кубе.

Ответ можно получить, посчитав грани на двумерной проекции, которую мы показали ранее. У внутреннего куба шесть граней, у внешнего — еще шесть, а кроме того, есть двенадцать диагональных граней, что в сумме дает двадцать четыре. А теперь посчитайте число трехмерных кубов в гиперкубе.

* * *

Наглядное представление дополнительных измерений

Хотя мы и не можем оказаться в четырехмерном пространстве, каждое измерение которого представлено числом, в действительности мы видим мир в гораздо большем количестве измерений, чем три.

Так, мы различаем цвета, которые воспринимаем в зависимости от интенсивности зеленого, красного и голубого. Это означает, что нам нужно три дополнительных числа для представления каждой точки пространства, следовательно, мы видим в большем количестве измерений, чем три. Один из способов наглядно представить дополнительные измерения — это вообразить черно-белую шкалу и сопоставить окраску определенной интенсивности с каждым дополнительным измерением, которое нам потребуется. Так мы можем получить наглядное представление о пространствах, существующих только в мире математики.

Другой способ — представить число, парящее над объектом. Это число обозначает положение в четвертом измерении, в которое перемещается объект.

Измерения могут выражаться не только с помощью указания на положение точки. Например, для выражения температуры тоже необходимо число. Если мы говорим, что частица находится в некоторой точке, и ее температура равна двадцати семи градусам, на самом деле мы используем четыре измерения: три для пространства и одно для температуры. То же происходит, если говорить об интенсивности электромагнитного поля области или о влажности; для каждой из этих величин нам нужны новые числа, значит, мы увеличиваем размерность изучаемой системы.