Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

где q обозначает положения, р — импульсы. Чтобы представить две частицы, нам нужно всего лишь удвоить число координат следующим образом:

r = (q₁, q₂, q₃, q₄, q₅, q₆,p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆)

где первые три положения соответствуют первой частице, а три следующие — второй; то же самое касается импульсов.

В целом для N частиц положение в фазовом пространстве задано рядом чисел, в котором количество каждой координаты в три раза больше, чем число частиц:

r = (q₁, q₂, q₃… q_3N, p₁, p₂, p₃… p_3N )

Этот набор чисел, разделенных запятой, говорит нам о положении точки в фазовом пространстве, поскольку это аналог точки в трех измерениях, но распространенный на произвольное число измерений. С течением времени частица меняет положение в фазовом пространстве, следуя траектории, которую мы можем вычислить, пользуясь уравнениями Гамильтона.

Траектории в фазовом пространстве

Описать траекторию частицы в фазовом пространстве — сложная задача, поскольку невозможно представить столько измерений одновременно. Но иногда мы можем ограничиться некоторыми измерениями, например горизонтальным положением и импульсом в этом же направлении.

Самый простой случай — это случай частицы, движущейся в одном измерении, то есть вдоль прямой линии. Несмотря на это ограничение, частица может перемещаться самыми разными способами: она может колебаться вперед и назад или осуществлять ускоренное движение в одном направлении.

Каждому случаю будет соответствовать своя траектория в фазовом пространстве. Изучение этих траекторий позже поможет нам понять некоторые свойства систем с большим количеством частиц, в частности газов.

Рассмотрим случай, когда частица движется по прямой с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, а импульс — это произведение массы на скорость, импульс также будет постоянным. Итак, частица будет двигаться вдоль горизонтальной оси х, сохраняя один и тот же импульс. Рисуя ее траекторию, представим себе, что частица движется, оставляя после себя след, как от сверхзвукового самолета (см. рисунок на следующей странице). След — это то, что представлено на графике: области, по которым прошла частица.

Траектория в фазовом пространстве частицы, которая движется прямолинейно на постоянной скорости, имеет следующий вид.

На графике показано, что импульс частицы при любом ее положении один и тот же. Подобным образом движется, например, поезд, который всегда едет на одной и той же скорости.

Более интересен случай, когда частица движется зигзагом, например как игрушка, прикрепленная к пружине и подпрыгивающая вверх-вниз. В этом случае скорость игрушки уменьшается, пока она не доходит до одного края, затем она начинает увеличиваться по мере того, как игрушка доходит до центра движения, и затем снова уменьшается, когда она доходит до противоположного края. Форма такого движения в фазовом пространстве довольно любопытна.

Как можно заметить, траектория имеет форму эллипса, то есть типичную форму колебательного движения, хотя возможны и более сложные случаи. Эта траектория соответствует некоторым начальным положению и скорости, то есть начальным условиям. С каждым набором начальных условий связана разная траектория в фазовом пространстве. На первом графике на стр. 46 показаны возможные траектории для частицы, движущейся зигзагом, в зависимости от ее начального положения.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Существует огромное количество возможных траекторий в фазовом пространстве, и их форма зависит от правил, регулирующих развитие системы. Например, на графике показана траектория в фазовом пространстве частицы, которая колеблется под воздействием силы трения, так что постепенно теряет энергию.

Но возможно и намного менее предсказуемое поведение. Рисунок ниже соответствует аттрактору Лоренца — траектории, возникающей при описании погоды. В целом существует столько возможных траекторий, сколько можно вообразить систем. Некоторые из них упорядочены, но существует и огромное количество систем, в которых траектория частицы непредсказуема. Трехмерная траектория абсолютно непредсказуема и никогда не проходит через одну и ту же точку.

* * *