Путешествие по Карликании и Аль-Джебре

Я взял у Тани молоток и стал возводить минус три в четвёртую степень, пятую, шестую, седьмую…

Гирька по очереди то подпрыгивала всё выше и выше, то уходила всё глубже в колодец. И каждый раз загорался зелёный огонёк. Тут-то я и понял, что, когда отрицательное число возводишь в чётную степень, ответ получается положительный, а когда в нечётную — отрицательный. Хочешь знать почему? Возьми карандаш и разберись сам.

Наконец мы решили, что достаточно углубили свои знания в колодце, и отправились дальше.

По дороге нам повстречалась старая знакомая — та самая Мнимая Единичка, которая опрашивала у Автомата, найдётся ли ей место в жизни. Мы её сразу узнали по маленькому красному зонтику.

— Здравствуйте, как поживаете?

— Отлично, — ответила она. — Автомат сказал правду: и Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.

— Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?

— Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас, Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.

— Как же мы её не заметили? — спросил Сева.

— Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.

— Жаль, что не сразу! — сердито отрезал Сева. — Теперь придётся возвращаться, чтобы посмотреть на неё.

— Возвращаться к старому иногда полезно, — заметила Мнимая Единичка. — Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется «Мнимая карусель». Я там работаю. Хотите взглянуть?

Хотим ли мы взглянуть на карусель, да ещё мнимую? Как ты думаешь?

Олег.

Мнимая карусель (Таня — Нулику)

Вот тебе, Нулик, наши последние новости.

По дороге к аттракциону всё чаще мелькали рекламные плакаты:

ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!

Исключительно для Мнимых Единиц!

ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО, ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ

МОГУТ СТАТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!

Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!

Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.

Оказывается, Мнимая Единица — это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы:

√-1

— А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? — спросил Сева. — Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.

— Ой-ой-ой! — ужаснулась Мнимая Единичка. — Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?

— Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, — ответил Олег. — Это число три.

— Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат даёт минус единицу!

Мнимая Единичка тоненько засмеялась.

Сева озадаченно взъерошил волосы:

— М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ всё равно получится положительный. Уж я-то знаю!

— Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.

— Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.

— Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится всё та же Нулевая станция.

— Раз у вас есть Нулевая станция, значит, есть положительные и отрицательные числа?

— Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое — знаком минус.

— Но как же мнимые числа отличают от действительных?

— С помощью буквыi:

2i, 5i, -8i, -12i.

— Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?

— Конечно.

— А где же ваш коэффициент? — ляпнул Сева.

И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо ещё, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.

— Мой коэффициент — единица, и он, как всегда, невидимка.

Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!

— Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чём здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идёт по прямой, а карусель-то кружится?

— Вы отчасти правы, — ответила Мнимая Единичка. — Правила движения у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа.

2i + 3i = 5i;

8i — 15i = -7i,

или вот ещё:

-3i + 9i = 6i,

ну и конечно:

5i — 5i = 0.

Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.

Иное дело — умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.