Путеводитель для влюбленных в математику

Число Эйлера повсеместно встречается в разных областях математики. Далее я покажу вам три совершенно разные задачи, для решения которых нужно e.

«Прибыльное» число

Банк выдает депозитный сертификат на десять лет. Когда этот срок истекает, вклад удваивается. Если ваш вклад составляет 1000 долларов, через десять лет вы получите 2000 долларов. Рост ваших инвестиций составляет 100 %. Не исключено, что для банка выгоднее выплачивать 10 % ежегодно, а не 100 % спустя десять лет.

Банк может выдать еще более привлекательный сертификат, позволяющий вам получать прибыль ежегодно и снова класть ее на депозит. Посмотрим, как это отразится на ваших финансах.

Начнем с 1000 долларов. В конце года вы получите 100 долларов. Теперь у вас 1100 долларов. На следующий год ваша прибыль возрастет. Банк выдаст вам уже не 100 долларов, а 10 % от 1100, то есть 110 долларов. Теперь у вас 1210 долларов. На третий год банк выдаст 10 % от этой суммы. Посмотрим, какую прибыль вы будете получать год от года и насколько станет увеличиваться ваш вклад:

Вначале у вас было A долларов. В первый год прибыль составила 10 %. В конце года вы получили 1,1 × A. На второй год 1,1 × 1,1 × A. Несложно увидеть, что в конце десятого года у вас на руках окажется

Это близко к нашим недавним расчетам[71]. Таким образом, новый депозитный сертификат оказывается существенно выгоднее – денег становится больше не в 2, а почти в 2,6 раза.

А что произойдет, если банк начнет выдавать прибыль раз в три месяца, а не ежегодно? Если за год выручка составляет 10 %, то за три месяца набегает 2,5 %. В первом квартале ваша доход составит 0,025 × 1000 = 25 долларов. Общая сумма будет равна 1,025 × 1000 = 1025 долларов. В конце второго квартала вы получите уже 0,025 × 1,025 = 25,63 доллара (если округлить до сотых). Теперь у вас 1,025 × 1025 = 1050,63 доллара.

Спустя N кварталов ваша 1000 долларов увеличивается следующим образом:

Подставим N = 40 (поскольку в 10 годах 40 раз по 3 месяца) и увидим, что депозитный сертификат принес 2685,06 доллара.

В первом случае деньги удвоились. Во втором сумма выросла в 2,59 раза. В третьем – в 2,69 раза. А что произойдет, если требовать прибыль ежемесячно, сохраняя условие, что деньги можно тут же снова класть на счет? А еще лучше – ежедневно?

В случае ежемесячных выплат вы станете получать 10/12 %. Если в начале месяца у вас на руках была сумма A, в конце месяца[72] она вырастет:

Спустя N месяцев вы получите:

Если N = 120, ваша итоговая сумма составит 2707,04 доллара.

Число дней в високосном году больше, чем в обычном, но для упрощения вычислений давайте примем за данность, что длительность каждого года 365 дней. За день вы будете получать Спустя N дней общая сумма составит:

Если N = 3650, вы будете обладать суммой в 2717,91 доллара.

А что, если вам и этого мало? Что, если вы потребуете от банка платить вам ежечасно?.. ежеминутно?.. ежесекундно?

В году 31 556 926 секунд[73], так что спустя 10 лет у вас будет:

Это дает 2718,28 доллара.

Подытожим:

А зачем останавливаться на секундах? Пусть банк выплачивает вам деньги каждую миллисекунду или наносекунду. Впрочем, это не изменит общей суммы. Вы все равно получите те же 2718,28 доллара, потому что вынуждены округлять до центов.

В пределе вы достигнете непрерывных выплат. Если посчитать всю сумму в точности, банк должен будет отдать вам 1000 × e долларов!

Непрерывные выплаты – пример экспоненциального роста. Пусть A – начальное число (денег, микробов и т. д.). Оно вырастает со скоростью r на протяжении периода времени t. Если новое число вырастает с той же скоростью и этот рост непрерывный, то в конце мы получим:

Ae^rt,

где e – знакомое нам число Эйлера. В нашем примере A = 1000 (первоначальный вклад), r = 0,1 (процентная ставка), t = 10 (количество лет). В конце мы имеем 2718,28 доллара.

Процесс может быть и обратным, когда нечто непрерывно убывает[74]. Тогда в конце мы получим Ae^–rt.

Переполох со шляпами

В одном городе был театр. Его посетители на время представления сдавали шляпы в гардероб, а потом забирали обратно.

Однажды гардеробщик – то ли он выпил лишнего, то ли просто свихнулся – стал выдавать шляпы не по номеркам, а в произвольном порядке. Вопрос: какова вероятность того, что никто не получит свою шляпу?

Сформулируем вопрос точнее. В театр пришло N зрителей. Они встают в очередь за шляпами. Сумасшедший гардеробщик выдает шляпы в произвольном порядке. Таким образом, шляпы могут быть выданы N! различными вариантами[75]. Все они равновероятны. Это математическая формулировка выражения «в произвольном порядке».

Разберем случай N = 4. Укажем в таблице все варианты выдачи шляп и пометим стрелочкой те случаи, когда ни один из зрителей не получает свою шляпу.

В 9 случаях из 24 никто не получает свою шляпу. Таким образом, при N = 4 интересующая нас вероятность равна