Расколотый мир

Рассмотрим, однако, еще одно важное для психологии отношение, обладающее свойствами рефлексивности и симметричности, но не обладающее свойством транзитивности, такое отношение называется отношением толерантности. В качестве примеров можно привести отношения сходства или знакомства между людьми. Так, если один объект похож на другой, то и этот другой похож на первый (симметричность), при этом естественно, что каждый объект похож сам на себя (рефлексивность), однако из того, что второй объект похож на некоторый третий, уже не следует, что и первый похож на третий, сходство может утрачиваться. Так, если два человека знакомы и один из них знаком с третьим, то из этого не следует, что и первый знаком с третьим. Отношение толерантности также разбивает исходное множество на некоторые классы. Однако классы толерантности уже не являются непересекающимися. Попробуем рассмотреть Гиппократовские типы темпераментов не как классы эквивалентности, а как классы толерантности. Проанализируем с этой точки зрения тест Айзенка. Автор теста разработал опросник, который позволяет оценить личность человека по двум основным свойствам – экстравертированность (открытость человека внешнему миру, его общительность, заинтересованность и т. п.) и нейротизация (нервозность человека, его тревожность, боязнь общения и т. п.). Каждое из свойств измеряется по 24-балльной шкале, следовательно каждому человеку может быть поставлена в соответствие пара чисел: меланхолик характеризуется высоким нейротизмом и низкой экстраверсией, холерик – высоким нейротизмом и высокой экстраверсией, флегматик низкой экстраверсией и низким нейротизмом, сангвиник – высокой экстраверсией и низким нейротизмом. Легко видеть, что для некоторых пар типов характерно наличие одного общего свойства, а для других, напротив, характерно отсутствие общих свойств. Так, холерик и меланхолик одинаково характеризуются высоким нейротизмом, а флегматик и меланхолик имеют одинаково низкую экстравертированность. Напротив, холерик и флегматик не имеют между собой ничего общего. Отношение «иметь хотя бы одно общее свойство» является отношением толерантности. Действительно, каждый тип имеет сам с собой даже два общих свойства, и если он имеет общее свойство с «соседним» типом, то и тот имеет это же общее свойство с ним. Например, холерик и сангвиник находятся в отношении толерантности так же, как холерик и меланхолик, в то время как меланхолик и сангвиник – нет, также как и холерик и флегматик. Действительно, как на основе интуитивных представлений, так и из многочисленной литературы ясно, что сангвиника с меланхоликом, также как и флегматика с холериком, спутать очень трудно, в то время как в зависимости от ситуации флегматик может вести себя как меланхолик или как сангвиник, холерик также может впадать в меланхолию или, напротив, быть спокойным как сангвиник. Таким образом, мы видим, что отношение толерантности, заданное на том же самом множестве, позволяет с несколько иной точки зрения взглянуть на проблемы психологических типов. Мы видим, что даже такие простейшие модели как множества с заданным отношением уже в существенной мере определяют направление исследовательского поиска. Легко понять, каким мощным орудием располагает исследователь, если он ясно представляет себе, с какой моделью работает.

1.2. Отображения и функции

Мы уже ввели понятие пары объектов. Рассмотрим теперь следующее множество пар. Пусть имеется два множества А и В. Рассмотрим множество таких пар объектов, где первый элемент всегда выбирается из множества А, а второй – из B. Все множество таких пар образует множество А и B. Ограничим теперь указанное соответствие следующим условием. Пусть каждый элемент из А имеет только единственную пару из множества B. Такое ограниченное соответствие называется отображением множества A в множество B, и обозначается f : A → B т. е. (а, b) ∈ f или в другой записи f (а) = b.

Рассмотрим некоторые важные свойства отображений. Будем называть элемент b = f (а) образом элемента а, а сам элемент а прообразом элемента b. Соответственно все множество А всегда является прообразом при отображении f, а множество В содержит в себе некоторое подмножество, которое является образом множества А. Если образ множества А совпадает со всем множеством В, т. е. каждый элемент из В имеет хотя бы один прообраз, то отображение называется сюръективным или обладает свойством сюръективности. В множестве В могут, однако, быть элементы, которые не являются образами никаких элементов из А, если а при этом еще каждый из тех элементов, которые являются образами элементов из А, имеет единственный прообраз, то такое отображение называется инъективным или обладает свойством инъективности. Если отображение одновременно обладает двумя указанными свойствами, т. е. является сюръективным и инъективным, то такое отображение называют биективным или взаимно однозначным.