Расплетая радугу. Наука, заблуждения и потребность изумляться

Теперь перейдем к статистике. Очевидно, что, даже действуя совершенно наобум, я бы угадывал правильный ответ довольно часто. Но насколько часто? Если утверждение, будто я способен определять пол по почерку, необоснованно, то угадывал бы я не лучше, чем люди угадывают, какой стороной выпадет монета. Вопрос в том, достаточно ли сильно мой результат отличается от результата подбрасываний монеты, чтобы производить должное впечатление. Подступиться к ответу на этот вопрос можно следующим образом.

Подумайте обо всех возможных вариантах решения данной задачи по определению пола 20 человек, какие я только мог бы дать. Распределите эти варианты в порядке убывания производимого ими впечатления: от 20 правильных угадываний до полной бессистемности (20 неправильных ответов окажутся почти так же поразительны, как и 20 правильных, ибо будут свидетельствовать о том, что я умею различать мальчиков и девочек по почерку, но интерпретирую свои результаты с точностью до наоборот). Затем посмотрите, как я рассортировал образцы на самом деле, и подсчитайте долю всех тех возможных результатов, которые были бы не менее впечатляющими, чем мой. Обо всех без исключения возможных вариантах ответа рассуждать будем так. В первую очередь обратим внимание на то, что есть только один способ дать 100 % правильных ответов и один — 100 % неправильных, зато существует множество способов дать 50 % правильных ответов. Можно угадать с первым листком, ошибиться со вторым, ошибиться с третьим, угадать с четвертым… Способы дать 60 % верных ответов несколько менее многочисленны, для 70 % их еще меньше, и так далее. Количество способов сделать одну-единственную ошибку достаточно невелико для того, чтобы мы могли их перечислить. Всего было 20 рукописей. Ошибиться можно либо с первой, либо со второй, либо с третьей… и так далее вплоть до двадцатой. То есть существует ровно 20 способов совершить только одну ошибку. Перечислять все способы сделать две ошибки — дело более утомительное, но можно без особого труда подсчитать, что их 190. Несколько труднее будет вычислить количество способов ошибиться трижды, но ясно, что эта задача тоже выполнима. И так далее.

Допустим, что в нашем вымышленном опыте я сделал две ошибки. Нам хотелось бы узнать, насколько хорош мой результат на фоне всех возможных вариантов ответа. Для этого следует выяснить, как много существует способов показать результат, который был бы так же хорош или еще лучше. Есть 190 способов справиться с задачей так же хорошо, как я. Способов справиться лучше — 20 (с одной ошибкой) плюс 1 (без ошибок). Итак, общее число таких вариантов ответа, которые были бы не хуже моего, равняется 211. Результаты, превосходящие тот, что получился у меня в реальности, должны быть непременно включены в наши расчеты, потому что они по праву принадлежат сосопосо, равно как и 190 вариантов, равноценных моему.

Мы должны противопоставить число 211 общему количеству способов, какими можно было бы распределить эти 20 рукописей по стопкам, просто бросая монетку. Вычислить это количество несложно. Первый образец почерка мог принадлежать либо мальчику, либо девочке — то есть возможностей для выбора тут две. Второй образец тоже мог быть написан как мальчиком, так и девочкой. Следовательно, на каждую из двух возможностей выбора для первого листа бумаги приходятся две возможности для второго. То есть общее чис ло вариантов решения для первых двух образцов составляет 2 × 2, или 4. Для первых трех образцов число возможностей 2 × 2 × 2 = 8. А чтобы подсчитать количество возможных ответов для всех двадцати образцов почерка, надо перемножить двадцать двоек. Иначе говоря, это будет два в двадцатой степени — число немаленькое: 1 048 576.

Итак, среди всех возможных способов разложить эти листки по стопкам доля тех вариантов, которые будут столь же хороши, сколь и мой, или еще лучше, составит 211/1 048 576, что приблизительно равняется 0,0002, или 0,02 %. Другими словами, если бы 10 000 человек сортировали образцы почерка исключительно при помощи подбрасываемой монетки, можно было бы ожидать, что только двое из них показали бы такие же хорошие результаты, как я. Это означает, что мой результат очень даже неплох и, если бы я действительно получил его, он стал бы серьезным аргументом в пользу того, что в почерке мальчиков и девочек имеются систематические различия. Позвольте еще раз напомнить, что этот пример был полностью гипотетическим. Насколько мне известно, никакой такой способностью определять пол по почерку я не обладаю. Должен также добавить, что, если бы даже обнаружилось надежное доказательство существования обусловленных полом различий в почерке, отсюда совершенно не было бы ясно, врожденные они или приобретенные. Эти доказательства — по крайней мере, если бы они были получены в ходе опыта, подобного только что описанному, — были бы совместимы и с той точкой зрения, что девочкам методично прививается иная манера письма, нежели мальчикам: скажем, более «женственная» и менее «уверенная».