Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив

Мы убеждаемся, что научное исследование разъясняет загадочные особенности аварий, ранее казавшиеся очень странными. Заметим, что при исключении части переменных (широко используемом при «аналитическом конструировании» регуляторов) выход системы на границу устойчивости происходит при любых значениях коэффициентов. Это объясняет, почему в 60-е годы аварии с «аналитически сконструированными» регуляторами происходили так часто. Затем структуру регуляторов изменили и аварии стали реже, но не прекратились совсем. Для полного прекращения опасных аварий, связанных с неполнотой привычных методов расчета, нужно использовать дополнительные проверки, описанные в книгах [1], [2], [7].

§ 11. Существуют ли в математике предрассудки?

Математика считается точной и доказательной наукой, которая опирается на обоснованные определения и строгие доказательства. Поэтому ее теоремы считаются безусловно верными и не подлежащими сомнению. Предрассудкам (т. е. привычным, но ложным представлениям) в математике, конечно, не место. Однако проведем научное расследование.

Одной из важнейших теорем математики является теорема о непрерывной зависимости решений систем дифференциальных уравнений от их коэффициентов и параметров. Эта теорема лежит в основе всех инженерных расчетов. Действительно, если непрерывной зависимости решений от коэффициентов и параметров нет, то мы не можем быть уверены в том, что даже сколь угодно малые и поэтому неизбежные на практике отклонения действительных параметров рассчитываемого объекта от расчетных значений не приведут к коренным расхождениям между результатом расчета и реальностью, не можем быть уверены, например, в том, что здание, по расчету обязанное стоять долгие годы (как аквапарк «Трансвааль»), неожиданно не обрушится на головы посетителей. Поскольку данная теорема математиками считается доказанной, инженеры верят математикам и опираются на нее в своих расчетах как на незыблемую скалу.

Однако рассмотрим следующую систему двух дифференциальных уравнений

                                                   (21)

Эта система, как уже говорилось в предыдущем разделе, описывает процессы в системе, состоящей из электропривода постоянного тока и регулятора с постоянными коэффициентами. Характеристический полином этой системы равен определителю (19), а мы уже убедились в параграфе 10, что в точке т = 1 характер корней характеристического полинома и характер решений системы резко меняются. Если т = 1 + є , где ε — малое число и ε < 0 , то в решении присутствуют только экспоненциально убывающие члены, если же малое в > 0, то в решении появляются стремительно растущие члены вида (20). Непрерывной зависимости решений от параметра т у системы (21) нет. При т = 1 эта зависимость терпит разрыв. Отметим, что подобных систем дифференциальных уравнений, не имеющих непрерывной зависимости решений от коэффициентов и параметров, довольно много. Примеры приведены в книге [2].

Из этих примеров следует, что одна из важнейших математических теорем не верна. Может ли такое быть? Многие математики заявляли — нет, такого быть не может! Теорема приводится во многих авторитетных учебниках, не могут все они ошибаться.

Да, теорема о непрерывной зависимости решений от параметров приведена — и причем с доказательством — во многих университетских учебниках. Примеры:

1. В учебнике для университетов: Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., ГИТТЛ, 1953, 468 с., эта теорема рассмотрена на стр. 298—307.

2. В учебнике: Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Высшая школа, 1967, 564 с., теорема рассмотрена на стр. 259—267.

3. В учебнике: Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1975, 239 с., теорема рассмотрена на стр. 186—204.

4. В учебнике: Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения, СПб., Специальная литература, 1996, 371 с., теорема рассмотрена на стр. 313—316.

Но — обратите особое внимание — во всех учебниках она доказана лишь для двух частных случаев: для системы из n уравнений первого порядка и для одного уравнения n -ого порядка. Для всех других многочисленных систем — как, например, для системы (21), которая состоит из уравнения третьего порядка для переменной X₁ и уравнения первого порядка для х₂ — теорема не доказана. Да, почти любую систему, состоящую из уравнений различных порядков, можно путем эквивалентных преобразований свести к системе из n уравнений первого порядка, для которой теорема доказана. Но для того, чтобы из этого вытекала верность теоремы для всех систем, необходимо доказать, что эквивалентные преобразования не меняют никаких свойств решений. А этого никто и никогда не доказывал (и не мог доказать — в книгах [1], [2] , [3] приводились все новые и новые примеры того, как эквивалентные преобразования меняли все новые и новые свойства решений — надо лишь внимательно исследовать; ищите и найдете).