Разыскания о жизни и творчестве А.Ф. Лосева

Впрочем, при упоминании мереологии вновь фигурировали отношения части и целого; к более подробному рассмотрению этих отношений и пришла пора перейти. Сразу отметим, что и в этом пункте нас ожидает вполне нетривиальный результат. Если, как выяснилось, к отношениям элемента и множества теория Кантора дает весьма тонкий аппарат для (выразимся кратко) «различений близкого», то в теоретико-множественных отношениях целого и части выявляется не менее интересная возможность «сближений далекого». При этом и в первом, и во втором случае обыденная интуиция если и не вовсе пасует, то оказывается по меньшей мере малополезной. Действительно, если говорить о части и целом, то привычки обычной языковой практики готовы засвидетельствовать здесь только одно: часть есть ущерб целого и, лишь разрастаясь до крайних размеров (т. е. переставая быть именно собой, частью), она становится тождественной целому, совпадает с ним. Заслуга Кантора состояла в строгом доказательстве возможности совсем иного отношения части и целого, справедливого для особого класса множеств. Именно для бесконечных множеств всегда (подчеркнем — всегда) справедливо то, что для конечной области возможно лишь в вырожденном случае, — эквивалентность бесконечного множества (целого) своему бесконечному подмножеству (части). Если воспользоваться известным крылатым выражением, то фундаментальная особенность области бесконечного можно выразить так: «лев» здесь не только «узнается по когтям», но «когтями» же и полностью представлен. Процедура установления эквивалентности множеств, которую нашел Кантор, оказалась настолько простой и убедительной (это, напомним, попарное сочетание элементов сравниваемых множеств и демонстрация того, что ни в одном множестве не остается непарных элементов), что она фактически стала конструктивным методом распознавания бесконечных множеств. Для выяснения того, каким является данное множество, конечным или бесконечным, необходимо и достаточно проверить отношение его как целого к собственной части: неэквивалентность целого и части сигнализирует о конечности, эквивалентность — о бесконечности множеств.

Все эти специфические и, может быть, скучные «технические» подробности приходится излагать только ради возможности прийти к вопросу, для нашей темы важнейшему, к вопросу о соприкосновении бесконечности и Бесконечности. Имяславцы давали на него собственный ответ, а в арсенал своих аргументов они вполне могли бы включить следующее высказывание Кантора:

«Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного» ¹⁹.

Отнесение «человеческой природы» в область бесконечного вместе с прямым доказательством своего рода «соразмерности» — в этой области — объемлемого (а если это человек?) и объемлющего (а если это Бог?) дает право решать вопрос о «соприкосновении» в каком-то смысле положительно. Но тут же встает иная проблема. Как ни называть отношение, в строгом ли смысле эквивалентностью множества и подмножества ²⁰, в нестрогом ли смысле «соразмерностью» или «соприкосновением» (а то и вовсе сказать — «прилипло»), сомнение возникает одно и то же: если это отношение предполагается между тварью (пусть — бесконечностью) и Творцом (пусть — Бесконечностью), то построения теории множеств, выходит, смыкаются с пантеизмом. В трудах самого Кантора засвидетельствовано, что упреки в пантеизме он действительно получал ²¹, а в свою очередь Флоренский прямо так и объяснял «десятилетнее» (возможен, отметим, и другой подсчет) молчание математика, первоначально таившего свое новое понимание бесконечности, — он действительно обдумывал и проверял, «нет ли в его идеях ошибок и неувязок, не ведет ли его учение к пантеизму» ²². Поэтому не нужно удивляться, когда где-нибудь в сугубо математическом тексте создателя теории множеств вдруг встретится явно не математическое, явно с «онтологическим привкусом» утверждение о том, что всякое множество обладает «большей реальностью», чем подмножество. Да, он постоянно помнил о грозной опасности.

Однако Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась перед ученым сообществом во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее умозаключение, но вполне законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы на протяжении почти века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.