Риторическая теория числа

EEV, Вы критикуете тезис Шилова «бесконечное множество перемноженных простых чисел, к которому была бы добавлена единица» таким образом: «Указанное Вами понятие не есть число, поэтому “простым числом” оно быть не может». Справедливое замечание. Но я бы переформулировал его так: «Указанное произведение невозможно».

Михаил М:

В.Н. Левин, Сергей Шилов, господа, хотел бы сообщить, что в инете встречаются выпускники кафедры матлогики МГУ, заведующий которой А. А. Марков и основал конструктивное направление математики. Вам что нормальный алгорифм (А.А.Марков настаивал на таком спеллинге) нарисовать для проверки делимости любой пары натуральных чисел? Бесконечность числа простых чисел легко доказывается и в обычной, и в конструктивной математике, причем без всяких Гильбертов и порождающих полиномов.

Конструктивное направление математики получается последовательным распространением на другие разделы идей и результатов конструктивной математической логики. Конструктивную математическую логику некоторые считают не самостоятельным направлением, а философской, «материалистической» интерпретацией интуиционистской математической логики. Основания для этого есть, но интуиционистских логик можно построить много, не каждая из них соответствует идеям конструктивизма. Основное отличие от классической логики — отказ от аксиомы, разрешающей автоматически снимать двойное отрицание. То есть в конструктивной математике «ложно, что ложно» еще не означает «истинно», «не может не быть объекта» с какими-то свойствами еще не значит, что такой объект есть и с ним можно что-то делать дальше. Отсюда следует отказ от безусловной истинности закона исключенного третьего — «суждение либо ложно, либо истинно», «либо объект есть, либо его нет». В конструктивной математике для снятия двойного отрицания необходимо указать «способ» построения объекта, для истинности суждений вида «исключенного третьего» необходимо указать способ определения какая именно из альтернатив верна «ложно» или «истинно». «Способ» — это алгоритм в одной из «полных» алгоритмических систем — машины Тьюринга, нормальные алгорифмы, рекурсивные функции (Черч), ассоциативные исчисления и т.д. Для этих алгоритмических систем доказана эквивалентность и фактически (для каждой) сформулированы аксиомы, что более мощных алгоритмических систем не существует. Вообще при конструктивном подходе отказываются рассматривать объекты, не имеющие описания каким-то конечным текстом. «Бесконечные» по своей «классической» природе объекты вроде числа «пи» описываются алгоритмами их порождения (скажем, алгоритмом, выдающем по N приближение к «пи» с точностью N знаков). Вот тут и начинается самое интересное.

Появляются невычислимые функции, неразрешимые алгоритмические проблемы, оные можно классифицировать по сложности разрешения, конструровать неразрешимые проблемы с заранее заданной сложностью разрешения. Сложность разрешения неразрешимой проблемы можно интерпретировать как количественную оценку Божьей помощи (в литературе использовался термин «оракул»), необходимой для разрешения ограниченного варианта проблемы. Скажем, есть алгоритм с одним числовым параметром и мы пытаемся узнать, на каких числах он зациклится. Есть алгоритмы, для которых это сделать невозможно (таковые, например, легко строятся из интерпретаторов языков программирования). Для решения задачи для всех входных чисел меньше N потребуется «Божья» подсказка одной длины, для чисел меньше М (М > M) — другой. Получаемая функция и называется сложностью разрешения неразрешимой проблемы. Можно также количественно исследовать универсальность Божьей помощи — предположим Бог помогает нам подсказками для решения одной неразрешимой проблемы, помогут ли они (если да, то насколько) при решении другой неразрешимой проблемы. Ладно, это уже теория алгоритмов. По жизни мне приятно считать, что конструктивная логика отражает неоднозначность операции отрицания (помните в диалектике закон отрицания отрицания).