Риторическая теория числа

Конструктивная математика, кроме распознавания неосуществимости (невычислимости) объектов, интересна еще тем, что разрешает оперировать лишь со счетным множеством объектов (поскольку счетно множество всех конечных текстов), но достаточна для полного описания областей математики, в которых количество объектов традиционно считается несчетным. Например, конструктивное действительное число задается парой алгоритмов и потому их количество счетно. Несчетности классических действительных чисел в конструктивной математике соответствует «неперечислимость» конструктивных действительных чисел — невозможность построения алгоритма, который по параметру N будет выдавать какое-то действительное число и когда-нибудь, при каком-то N, выдаст каждое действительное число. Это невозможно, даже если разрешить выдавать действительные числа с повторами. Помните классическое «диагональное» доказательство несчетности действительных чисел? «Предположим, что счетно и выпишем их десятичные представления одно под другим». Так вот счетность одно, а для «выписывания» требуется больше чем счетность, требуется перечислимость, должен быть алгоритм перечисления, кого на первое место поставить, кого на второе и т.д. Так что классическое доказательство несчетности не проходит из-за отсутствия алгоритма перечисления действительных чисел. Жить с конструктивной математикой, конечно, сложнее, чем с классической, но теорема Левенгейма—Скулема о том, что всякая непротиворечивая теория имеет счетную модель, позволяет надеяться на полноту конструктивного подхода.

В принципе с конструктивным подходом можно выразить всё, что угодно, но вряд ли кто это делать будет. А если кто и «выразит», то вряд ли кто сие «выражение» читать будет, разве что ради любопытства. Если конструктивные вещественные числа задаются парой алгоритмов (генератор приближений + оценщик их сходимости), то можете представить себе как описываются функции вещественных переменных. Если еще учесть, что распознавание равенства конструктивных вещественных чисел является неразрешимой алгоритмической проблемой... А так как конструктивисты не отказываются от анализа невычислимых (или еще не вычисленных) объектов, главное, чтобы у них имелось конечное описание. Если доказано, что «не может не быть» функции с какими-то свойствами, то это доказательство и есть ее описание». Несуществование в конструктивизме обычно получается при переходе от единичного «не может не быть» к их серии. Скажем, для любой программы и конкретного набора ее входных данных не может не быть ответа на вопрос, зациклится ли она. Вы скажете — зациклится, я скажу — нет, и один из нас ответит верно, снимет двойное отрицание для единичного случая. А вот алгоритма, который сможет давать верные ответы для любых входных данных (разрешит проблему распознавания зацикливания для этой программы), может и не быть.

В.Н. Левин:

Самое старое известное доказательство бесконечности простых чисел было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так. Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Евклид, я считаю, должен из своего рассуждения сделать вовсе не тот вывод, который он сделал (будто множество всех простых чисел — бесконечно). Свой вывод — я берусь откорректировать Евклида — я привожу ниже.

За основу беру только что указанный текст Евклида, добавляю и выделяю слова, корректирующие ход ЕГО мысли и получаю следующее:

«П Р Е Д С Т А В И М, что количество простых чисел конечно. (ПРЕДСТАВИМ себе их ВСЕ). Перемножим (ВСЕ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ конечным набором простые числа) и прибавим (к ВООБРАЖАЕМОМУ результату) единицу. Полученное число не делится ни на одно из (ПРЕДСТАВЛЕННОГО) конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, полученное число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот (ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ) набор (например, хотя бы на самое себя, если ни на одно другое число оно не делится)».

Внимание! А теперь финальный вывод:

Следовательно, то простое число, на которое должно делиться полученное число, не входит в ранее ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ набор ВСЕХ простых чисел. Следовательно, ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ! И ВСЁ. Конец вывода.

В откорректированном рассуждении, в отличие от оригинала, я опровергаю не утверждение о конечности множества простых чисел, а мнение о возможности П Р Е Д С Т А В И Т Ь такое множество конечным, о КОРРЕКТНОСТИ такого представления. Согласитесь, что разница в выводах действительно ПРИНЦИПИАЛЬНА!