Александр Игнатьевич Андреев родился в Петербурге, где его отец, крестьянин Псковского уезда, работал сторожем в купеческой управе. Отец устроил сына в один из приютов купеческого общества. По окончании обучения в этом приюте Александр получил стипендию в Петровском коммерческом училище в Петербурге. По окончании этого училища Александр Игнатьевич поступил на экономическое отделение Петербургского политехнического института.
В 1909 году Андреев сдал экзамен за гимназический курс по латинскому и греческому языкам и перешел на историко-филологический факультет Петербургского университета.
В университете Андреев занимался у Лаппо-Данилевского, Преснякова и Платонова.
В 1913 году он принял участие в производившемся учениками Лаппо-Данилевского составлении каталога частных актов Московского государства. Под его редакцией и с его предисловием «Терминологический словарь частных актов Московского государства» был издан в 1922 году.
С 1918 до 1925 год Андреев был управляющим архивом Министерства путей сообщения и много сделал для приведения его в порядок.
Время с осени 1931 года по весну 1935 года Андреев провел в Енисейске. Работал там в краеведческом музее и в городской библиотеке, где было довольно большое собрание книг по географии, этнографии и истории Сибири.
Сибирь увлекла Андреева и расширила его кругозор.
Вернувшись в Ленинград, Андреев широко развернул работу по изучению истории и исторической этнографии Сибири.
Работа началась с подготовки и издания трудов Г. Ф. Миллера. Первый том «История Сибири» Миллера вышел в 1937 году, второй – в 1941 году, под редакцией Андреева и С. В. Бахрушина. Третий и четвертый тома остаются в рукописи. В приложении к первому тому Андреев написал вводную статью «Труды Г. Ф. Миллера о Сибири» и «Обзор рукописей Г. Ф. Миллера по истории, географии, этнографии и языкам народов Сибири».
В 1940 году Андреев защитил свою докторскую диссертацию «Очерки по источниковедению Сибири XVII–XVIII веков» (три выпуска, 1940–1965). Оппонентами его были С. В. Бахрушин, Ю. В. Готье и Б. Д. Греков. Все они дали высокую оценку труда Андреева.
Во время Второй мировой войны Андреев в июне 1942 года был эвакуирован в Ташкент. В конце года он переехал в Москву. В 1949 году вернулся в Ленинград.
В Москве он интересовался главным образом историей русских географических открытий.
Им были изданы два сборника – «Русские открытия в Тихом океане и Северной Америке в XVIII в.» и «Русский флот и географические открытия».
Последние десять лет своей жизни Андреев работал преимущественно над историей Академии наук в XVIII веке. Главное внимание он посвятил деятельности М. В. Ломоносова. Деятельно участвовал в подготовке полного собрания сочинений Ломоносова. Был редактором пятого, шестого и девятого томов этого издания.
Помимо того он выпустил в 1950 году «Избранные труды по географии России» В. Н. Татищева.
Андреев занимался и Петром Великим. Академия наук поручила ему редактировать второй выпуск восьмого тома «Писем и бумаг Петра Великого» (изданы были в 1946 и 1948 годах). С 1943 года Андреев руководил в Институте истории группой по изучению эпохи Петра. Результатом было издание сборника статей «Петр Великий» под редакцией Андреева. В этом сборнике были напечатаны две статьи самого Андреева – «Основание Академии наук в Петербурге» и «Петр Великий и Англия в 1698 г.».
Был Андреев и одним из редакторов при подготовке нового издания «Истории Российской» Татищева. Это чрезвычайно ценное издание вышло в свет в семи томах в 1962–1968 годах (уже после смерти Андреева).
Андреев скончался 12 июня 1959 года.
Научная работа была основным и любимым делом его жизни. Он всецело был ей предан. Но он не замыкался в себе. К нему постоянно обращались и научные учреждения, и отдельные лица, прося его советов и указаний. Он всегда готов был помочь им, не жалея своего времени.
С. Н. Валк (1889–1975)
Сигизмунд Натанович Валк поступил на историко-филологический факультет Петербургского университета в 1907 году. Окончил его в 1913 году. В университете занимался главным образом у Лаппо-Данилевского, Преснякова и Платонова, но также и у Н. И. Кареева и И. М. Гревса. Главным предметом, можно сказать, страстью Валка в университете и в течение всей его жизни была русская археография, но он хорошо ознакомился и с общими достижениями русской и всеобщей исторической науки.
Вместе с Андреевым Валк был деятельным участником семинара Лаппо-Данилевского по исследованию и составлению «Терминологического словаря частных актов Московского государства» (напечатан под редакцией и с примечанием Андреева в 1922 году).
Об одном из видов этих актов «Грамота полная» Валк поместил статью в «Сборнике статей по русской истории, посвященных С. Ф. Платонову» (1922).
В 1949 году Валк издал «Грамоты Великого Новгорода и Пскова» – очень ценный исторический источник. Вместе с Андреевым Валк был одним из главных редакторов при подготовке монументального нового издания «Истории Российской» В. Н. Татищева (семь томов, 1962–1968).