Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Уайлс натолкнулся на ту же самую стену, что и Коши, Ламе, Куммер и Мияока. Все они были убеждены в своем успехе, однако были разбиты в самый последний миг. Этот последний шаг, эта последняя карта не давалась ни одному из математиков. И теперь, казалось, она не далась и Уайлсу. Так же как и предыдущим исследователям, Уайлсу было предназначено стать очередным именем в длинном ряду провалов, который длился 350 лет.

Но это не было очевидно в начале, когда математику устроили овацию в конце лекции. Ошибка всплыла при подготовке к публикации, во время очень серьезного процесса, известного как "рецензирование". Как правило, во время рецензирования формулируются вопросы и сомнения, на которые автор должен ответить. На одно из таких сомнений Уайлс ответить не смог. Его ошибку, которую нашел американский математик Ник Катц, невозможно объяснить неспециалисту. Согласно самому Уайлсу, даже профессиональному математику потребовалось бы два или три месяца, чтобы понять ее. В конце концов ученый был вынужден признать правоту Катца: он ошибся в такой тонкости, что ее было практически не видно.

Это и была цена самоизоляции Уайлса. Открытое обсуждение с коллегами хода исследования является одним из неписаных правил в математической практике. Подобное обсуждение позволяет обнаружить возможные ошибки, обсудить методы, сопоставить идеи. Но есть и обратная сторона: если кто-то тебе что-то подсказывает, в публикуемой статье ты должен вынести ему благодарность или даже включить в число соавторов. Вот почему такие статьи часто подписаны десятками авторов.

Проблема работы с Ферма — в том, что ты можешь провести годы, ничего не получив [...].

Эндрю Уайлс

Уайлс знал о риске, которому подвергался, но премия была слишком важна для него, и он не хотел с кем-то ею делиться. Так что математик решил рискнуть... и совершил ошибку. В любом случае, в доказательстве Уайлса было столько новаторства, что оно само по себе обладало ценностью. Так же как в случае с Коши или Куммером, его попытки уничтожить стену открыли дверь в новые миры. Но Уайлс не был готов сдаться. Поскольку секретничать уже не было смысла, он начал работать со своим коллегой Ричардом Тейлором, чтобы попытаться исправить ошибку. В конце концов он нашел решение. Хитрость заключалась в том, чтобы совместить метод Ивасавы, от которого он отказался, с методом Колывагина — Флаха. Уайлс решил задачу в день своего рождения. Вдруг все стало ясно, выключатель нашелся, и комната наполнилась светом. Через некоторое время, в мае 1995 года, состоялась публикация двух статей в журнале Annals of Mathematics, одна была подписана Уайлсом и Тейлором, а другая — только Уайлсом. Им обоим наконец-то удалось доказать одну из самых сложных задач всех времен. Небольшого книжного поля, действительно, было недостаточно для ста страниц доказательства, которое нашел Уайлс, основываясь, в свою очередь, на невероятных идеях Таниямы, Симуры, Фрая и Рибета. Стена наконец-то пала. Одна из самых долгих и сложных осад в истории математики закончилась победой осаждающих.

Из теоремы самой по себе нельзя было вывести никаких революционных результатов, но попытки ее доказательства дали огромное количество новых и плодотворных путей исследования. Возможно, если бы Эйлер не заинтересовался этой теоремой, теория чисел была бы разработана намного позже; теория идеалов была изначально задумана Куммером как инструмент доказательства теоремы, хотя сегодня она применяется во многих других областях. Фальтингс и Мияока исследовали связи между дифференциальной геометрией и теорией чисел благодаря Последней теореме Ферма. И наконец, Уайлс, возможно, не занялся бы доказательством гипотезы Таниямы — Симуры с таким пылом, если бы не знал о связи между этой гипотезой и любимой задачей его детства.

Всем этим мы обязаны скромному утверждению, или, даже можно сказать, всего лишь любопытному замечанию — теореме, которую однажды Ферма написал на полях "Арифметики" Диофанта.

ГЛАВА 3 Современная теория чисел

Несмотря на важность Великой теоремы Ферма для последующего развития математики, если бы она стала его единственным вкладом в науку, фигура тулузского юриста не обладала бы такой значимостью. Но Ферма был первоклассным математиком, для многих историков — мыслителем, равным Архимеду, Эйлеру или Гауссу. Он внес важный вклад в одну из своих любимых областей — современную теорию чисел, которую сам же и создал.

Собственные делители числа, или его аликвоты (включая число 1, которое всегда является делителем любого числа),— это делители, отличающиеся от самого числа, на которые оно делится без остатка. А совершенное число — это число, равное сумме всех своих собственных делителей.