Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Символическая алгебра позволяет представить неизвестное нам число: оно уже не "вещь", а х. Действительно, как в случае с Великой теоремой можно выразить числа, "которых, возможно, даже не существует", — х, у и z из уравнения Ферма. Символическая алгебра позволяет рассуждать о целых классах задач и делать утверждения о бесконечном количестве похожих проблем, зная только их алгебраическую структуру, связь между переменными посредством уравнения. То есть можно говорить об уравнениях в общем виде. Например, можно быстро и просто сказать, что a² - b² = (a + b) (a - b) и что это выполняется при любых a и b. Символическая алгебра освобождает наш ум от тяжелых словесных описаний и позволяет рассуждать на другом уровне, точно так же, как арабские цифры помогают нам считать. Революция в данной области стала возможной благодаря Виету, а затем и Декарту.

Теперь необходимо остановиться на некоторых понятиях. Древнегреческие математики стремились к строгим безукоризненным доказательствам: они назывались "синтетическими" и шли от гипотезы теоремы до ее заключения, с использованием логических правил, шаг за шагом. Но редко ученый следует по такому прямому пути, когда делает свои открытия. Математик пользуется (и греки не были исключением) эвристическими, неформальными методами для проверки своей правоты, прежде чем попытаться составить доказательство. В Древней Греции пробные пути, по которым пытались исследовать доказательство, можно сравнить со строительными лесами, убранными из окончательной редакции доказательства. Они назывались анализом (следует заметить, что это слово имеет абсолютно другое значение в современной математике), в то время как доказательство было синтезом. Анализ ведется от заключения к гипотезе, в то время как обычное, строгое и синтетическое доказательство всегда следует в противоположном направлении. К разочарованию своих читателей XVI и XVII веков, греки не оставили следов используемого ими аналитического метода, полностью стирая их и демонстрируя только строгость и красоту синтетического доказательства. Папп, несколько веков спустя писавший о вершинах эллинской математики, был одним из немногих авторов, который оставил какие-то свидетельства анализа.

На первый взгляд использование такого приема кажется странным. Обратные теоремы необязательно верны (см., например, малую теорему Ферма). Следовательно, перевод анализа (движения в обратном направлении) в синтетическое доказательство (скажем так, в правильном направлении, от гипотезы к заключению) не является автоматическим. Но греки прибегали к искусным методам, позволяющим инвертировать анализ и превращать его в доказательство по правилам. В частности, они заметили, что в геометрии во многих случаях шаги действительно можно инвертировать. В других случаях они с той же целью использовали вспомогательные гипотезы.

Анализ в том виде, в каком им занимались греки, также прижился у арабских алгебраистов и ренетов. В алгебре уравнения в основном инвертируются. Если согласно неким правилам преобразовать уравнение, то всегда можно осуществить и обратную процедуру. Например, мы можем перейти от записи a² - b² к записи (a + b)(a - b), равно как и совершить обратный переход. Так происходит потому, что два равных между собой выражения свободно взаимозаменяемы. Виет осознал это и открыл, что если основывать анализ на алгебре, пользуясь только действиями с уравнениями и тождествами, то доказательства автоматически будут истинными. Вышесказанное привело его к революционному утверждению о том, что анализ и алгебра — это одно и то же; он назвал это аналитическим искусствам.

Теперь имелись общие методы работы с уравнениями, и задачи можно было решать в два этапа: постановка, то есть перевод задачи в область символической алгебры в виде уравнения, и алгебраические действия для нахождения решения. Этим занимаются на уроках математики в школе. Таким образом, вместо того чтобы делать акцент на решении частного уравнения, как поступали реисты, Виет сосредоточился на правилах действий, совершаемых над уравнением: сложении членов в обеих частях, вычитании членов, возведении в степень, извлечении корней, умножении или делении. Кроме того, он искал общие виды операций, которые зависели бы только от структуры уравнения. Значительная часть трактата Виета посвящена классификации тождеств, помогающих осуществлять такие действия.