Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

[f(x)]^2 = [(x)]^2           (9)

является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:

f(x) = (x),    f(x) = -(x).

21. Чему равносильна система

22. Докажите, что следствием уравнения

является уравнение

при условии, что

Найдите действительные корни уравнений:

9.1. |x| - 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0.

9.2. |x^2 - 9| + |x^2 - 4| = 5.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7. а и b — действительные числа.

9.8. а — действительное число.

9.9.  а — действительное число.

9.10. Найдите действительные решения уравнения

|x^2 - 3 · ^x/₂ - 1| = -x^2 - 4x +

и определите, при каких значениях  оно имеет единственное[6] действительное решение.

9.11. Решите систему

9.12. Найдите все действительные значения k, при которых решение системы

удовлетворяет условию: x ¹/_k, у 0.

9.13. В области действительных чисел решите систему

9.14. При каких значениях а система

имеет действительные решения? Найдите эти решения.

Решите системы:

9.15.

9.16.

9.17.

9.18.

9.19. Числа x, у и z удовлетворяют системе уравнений

где а, b, с не равны друг другу. Найдите x^3 + у^3 + z^3.

Решите системы:

9.20. 

9.21. 

9.22. 

9.23.

9.24. Найдите все действительные решения системы

9.25. Найдите одно решение системы

Решите системы в области действительных чисел:

9.26.

9.27.

9.28.

9.29. если а b 0 и а + b 1.

9.30. Найдите все значения а и b, при которых система

имеет единственное решение (а, b, x, у — действительные числа).

9.31. Найдите все значения а, при которых система

имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение удовлетворяет уравнению x + у = 0 (а, x, у — действительные числа).

9.32. Найдите все значения а, при которых система

имеет хотя бы одно решение для любого значения b (а, b, x, у — действительные числа).

9.33. Найдите все значения а и b, при которых система уравнений

имеет единственное решение (x, у, а, b — действительные числа, x 0).

9.34. Решите систему

в области действительных чисел.

9.35. Решите уравнение

|6 - |x - 3| - |x + 1|| - аx - 5а = 4

при всех действительных значениях параметра а.

9.36. При всех действительных а решите уравнение

9.37. Решите уравнение

9.38. Решите систему уравнений

Глава 10 Алгебраические неравенства

О доказательстве неравенств. Доказать неравенство можно следующими способами, которые мы продемонстрируем на примере неравенства

1. От противного. Предположим противное:

Тогда

что невозможно.

2. По определению неравенства. Составим разность левой и правой частей и определим ее знак:

3. Вывести из ранее доказанного или очевидного неравенства. Мы знаем, что

откуда

Обратите внимание, что следующее «доказательство» неравенства является логически некорректным.

Если  и, следовательно,

что очевидно.

Некорректность приведенных рассуждений состоит в том, что в качестве исходного пункта взято доказываемое неравенство. Таким образом установлено, что если то (а - b)^2 >= 0. Однако верное следствие может быть получено из ложной посылки. Если те же рассуждения провести в обратном порядке, то мы получим корректное доказательство, аналогичное тому, которое приведено выше под номером 3).

Решение неравенств. Система, совокупность. Решить неравенство — значит, найти все системы значений входящих в него неизвестных, при которых неравенство истинно, или доказать, что таких систем значений нет.

Если два или несколько неравенств должны удовлетворяться одновременно, то говорят, что они образуют систему.

Если достаточно, чтобы удовлетворялось одно из двух или нескольких неравенств, то говорят, что эти неравенства образуют совокупность.

Неравенства, образующие систему, записывают одно под другим, а сбоку ставят фигурную скобку — знак системы.

Например,

Решение этой системы показано на рис. 10.1 двойной штриховкой. Эта же система неравенств может быть записана так: 3  x 7.

Совокупность неравенств записывают либо в строку, либо в столбец и ставят слева квадратную скобку. Это позволяет не путать совокупность неравенств с системой. Запись

означает, что число x должно лежать на любом из заштрихованных на рис. 10.2 интервалов.

Решить систему, состоящую из нескольких совокупностей неравенств, — значит, найти все значения неизвестного, удовлетворяющие всем входящим в систему совокупностям.

Пример 1. Решить систему совокупностей неравенств

Решение первой совокупности изображено на рис. 10.3 с помощью двух прямоугольников (левая сторона одного из них бесконечно отодвинута влево), расположенных над точками, удовлетворяющими этой совокупности. Аналогично на этом же рисунке изображены решения второй и третьей совокупностей.