Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

4.3. В кубе ABCDА₁В₁С₁D₁ проведена плоскость через вершину А, центр O₁ верхнего основания А₁В₁С₁D₁ и центр Q боковой грани ВВ₁С₁С. Пусть E — точка пересечения секущей плоскости с ребром В₁С₁. Найдите отношение В₁E к ЕС₁.

4.4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Сторона CD продолжена на расстояние MD = 2CD (MC = 3CD). Через точку M, вершину В и середину ребра SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей пирамиды, полученных при пересечении ее этой плоскостью.

4.5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Через точки А, D и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

4.6. Дан куб ABCDА₁В₁С₁D₁. На продолжении ребер AB, АА₁, AD отложены соответственно отрезки ВР, А₁Q, DR длины 1,5АВ. Через точки P, Q, R проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем куба?

4.7. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна Q. Вычислите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

4.8. В треугольной призме ABCА₁В₁С₁ боковое ребро равно l. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной b, а прямая, проходящая через вершину В₁ и центр основания ABC, перпендикулярна к основаниям. Найдите площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину ребра СС₁.

4.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁В₁С₁D₁ (ABCD и А₁В₁С₁D₁ — основания) даны длины ребер AB = а, АD = b, АА₁ = с. Пусть точка O — центр основания ABCD, O₁ — центр основания А₁В₁С₁D₁, F — точка, делящая отрезок O₁O в отношении 1 : 3. Найдите площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно его диагонали АС₁ и диагонали ВD основания.

4.10. В точке E, находящейся на расстоянии 2h от плоскости основания куба с ребром h и на расстоянии R > 2h от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку E и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.

4.11. На плоскость Π под прямым углом к ней падает пучок параллельных лучей. Как расположить над плоскостью куб с ребром а, чтобы отбрасываемая им тень имела максимальную площадь? Найдите площадь максимальной тени.

Глава 5 Геометрические места

5.1. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра O круга на хорды, проходящие через данную точку N внутри круга.

5.2. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Найдите геометрическое место точек M, для каждой из которых AM · ВМ · cos ∠ AMB = ¾АВ².

5.3. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Докажите, что геометрическое место точек M, удовлетворяющих условию 2АМ² + МВ² = АВ², есть окружность с диаметром AC, где точка С лежит на отрезке AB, причем ^AC/_BC= 2.

5.4. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек M, таких, что площади треугольников АМВ и NМС равны.

5.5. На плоскости даны два отрезка: AB и CD. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых площади треугольников ABM и CDM равны.

5.6. Дан куб с ребром а. Найдите геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой — на непараллельной ей диагонали нижнего основания.

Глава 6 Свойства чисел. Делимость

6.1. Докажите, что р² − 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.

6.2. Докажите, что n³ + 2n при любом натуральном n делится на 3.

6.3. Докажите, что число 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ делится на 49 и 181.

6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?

6.5. Делится ли число  на 81?

6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n⁴ + 4 является простым числом.

6.7. Докажите, что является целым числом при любом четном n.

6.8. При каких целых значениях x дробь  сократима?

6.9. Найдите все пятизначные числа вида  (x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.

6.10. Найдите трехзначное число  (а, b, с — его цифры), если четырехзначное число  в три раза больше четырехзначного числа .

6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.

6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.

6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.

6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения

3x² − 16xy − 35y² + 17 = 0.

6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению

x² = 4y² + 20 025?

6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x − 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.

Глава 7 Алгебраические преобразования

Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.

Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам