Семантическая концепция истины и основания семантики

Теперь у нас имеется ясное представление и об условиях материальной адекватности определения истины, и о формальной структуре языка, в котором должно быть сформулировано это определение. В этих обстоятельствах проблема определения истины приобретает характер четкой и чисто дедуктивной проблемы.

Однако само решение проблемы никоим образом не очевидно, и я не смог бы сформулировать его во всех деталях, не обращаясь к аппарату современной логики. Здесь я ограничусь кратким очерком этого решения и обсуждением некоторых моментов, связанных с ним и имеющих более общий интерес.

Решение оказывается иногда положительным, а иногда отрицательным. Это зависит от некоторых формальных отношений между объектным языком и его мета-языком или, говоря более конкретно, от того, является ли мета-язык в своей логической части "существенно богаче" объектного языка или нет. Нелегко сформулировать общее и точное определение понятия "быть существенно богаче" (essential richness). Если мы ограничиваемся языками, опирающимися на логическую теорию типов, то "быть существенно богаче" для мета-языка означает содержать переменные более высокого логического типа, чем переменные объектного языка.

Если условие "быть существенно богаче" не выполнено, то обычно можно показать, что возможна интерпретация мета-языка в объектном языке. Это означает, что любому термину мета-языка можно сопоставить вполне определенный термин объектного языка, так что утверждаемые предложения одного языка оказываются соотнесенными с утверждаемыми предложениями другого языка. В итоге рушится предположение о том, что в мета-языке можно сформулировать удовлетворительное определение истины, так как благодаря этой интерпретации оказывается возможным реконструировать антиномию лжеца.

(Тот факт, что в своей внелогической части мета-язык обычно шире объектного языка, не влияет на возможность интерпретации первого во втором. Например, в мета-язык входят имена выражений объектного языка, хотя чаще всего они не встречаются в самом объектном языке, однако может существовать возможность интерпретировать эти имена в терминах объектного языка.)

Таким образом, мы видим, что условие "быть существенно богаче" является необходимым для удовлетворительного определения истины в мета-языке. Если же мы хотим сформулировать теорию истины в мета-языке, невыполняющем этого условия, то нам придется отказаться от идеи определить истину только с помощью тех терминов, которые были указаны выше (см. раздел 8). Тогда мы должны будем включить термин "истинно" или какой-либо иной семантический термин в список неопределяемых терминов мета-языка и выразить фундаментальные свойства понятия истины в ряде аксиом. В такой аксиоматической процедуре нет ничего существенно неверного и для некоторых целей она может оказаться полезной.[15]

Однако вовсе не обязательно использовать эту процедуру. Условие "быть существенно богаче" для мета-языка оказывается не только необходимым, но также и достаточным для построения удовлетворительного определения истины, т. е. если мета-язык выполняет это условие, то понятие истины может быть определено в нем. Теперь мы покажем в самом общем виде, как может быть осуществлено это построение.

11. Построение (краткий очерк) определения. [16]

Определение истины можно очень просто получить из определения другого семантического понятия ― понятия выполнимости (satisfaction).

Выполнимость есть отношение между произвольными объектами и определенными выражениями, называемыми "пропозициональными функциями". Это выражения типа "x бел", "x больше, чем у" и т. п. Их формальная структура аналогична структуре предложений, но они могут включать в себя так называемые свободные переменные (как 'х' и 'у' в выражении "x больше, чем у"), которые не могут входить в предложения.

При определении понятия пропозициональной функции для формализованных языков мы обычно пользуемся "рекурсивным методом", т. е. сначала описываем пропозициональные функции простейшего вида (что, как правило, не встречает трудностей), а затем указываем операции, посредством которых из простых могут быть построены более сложные функции. Такой операцией может быть, например, образование логической дизъюнкции или конъюнкции двух данных функций, т. е. соединение их с помощью слов "или" либо "и". Предложение теперь можно определить просто как пропозициональную функцию, не содержащую свободных переменных.