Сферландия

— У куба в исходном положении двенадцать ребер, и столько же ребер у куба в конечном положении. Таким образом, двадцать четыре ребра мы уже насчитали. Кроме того, каждая из восьми вершин куба, двигаясь, опишет отрезок прямой, который также служит ребром гиперкуба. Следовательно, всего у гиперкуба имеется тридцать два ребра.

— А сколько у гиперкуба плоских граней?

— Двадцать четыре: шесть граней у куба в исходном положении, еще шесть — у куба в конечном положении, и каждое из двенадцати ребер при движении также заметает по одной грани. Вот всего и набирается двадцать четыре грани.

— Ты перечислил все элементы гиперкуба?

— Нет, самое главное впереди. Гиперкуб ограничен восемью кубами. Каждая из граней исходного куба при движении породила по одному новому кубу. Вместе с кубом в исходном и кубом в конечном положении мы получаем всего восемь кубических граней. Таким образом, гиперкуб ограничен восемью кубами, все точки которых, в том числе и внутренние, лежат на наружной поверхности гипертела. Разумеется, представить себе наглядно, как это происходит, мы не в состоянии.

— Трехмерные существа также не в силах представить себе такую картину.

— Мы вполне могли бы продолжить наши рассуждения, — заметил мой сын, — и заставить гиперкуб перемещаться вдоль пятого направления, но какое тело при этом получится, представить себе даже мысленно довольно трудно.

— Почему? — возразил я. — Мы получим пятимерное тело, обладающее весьма правильным строением, с тридцатью двумя вершинами, восемьюдесятью ребрами, восемьюдесятью плоскими, сорока кубическими и десятью гиперкубическими гранями. Правда, я не могу не согласиться с тем, что чем дальше, тем сложнее будут получаться гипертела.

Мы оба замолчали и погрузились в размышления. Я был горд своим сыном, который так хорошо разбирался в многомерной геометрии — отрасли науки, которой занимались многие члены нашего семейства. Занятие многомерной геометрией стало своего рода семенной традицией в честь нашего великого предка, замечательного Квадрата.

Мой сын первым нарушил молчание:

— В настоящее время мы не можем ответить на вопрос, является ли все это чистой гипотезой, игрой разума, или третье измерение действительно существует. Посетила ли моего прадеда Сфера или весь рассказ о ее визите от начала до конца был плодом его фантазии?

Тогда мы еще не знали, что ответ на этот вопрос будет дан очень скоро.

8. ВОЗВРАЩЕНИЕ СФЕРЫ

Часы пробили полночь, и великий миг, которого каждый год ожидают с нетерпением, настал. Может быть, вам покажется странным, что моя семья в новогоднюю ночь не собралась в тесном кругу у очага. Дело в том, что мои домочадцы, следуя примеру детей, решили лечь спать пораньше. Поэтому мы сдвинули торжество на несколько часов и уже успели отпраздновать встречу Нового года. По обычаю, мы отведали окружности на масле — блюдо, считавшееся большим лакомством у детей, которое с удовольствием ели и взрослые. Затем я рассказал сказку, так что, по нашему мнению, встреча Нового года прошла вполне удачно. Что же касается детей, то для них это был настоящий праздник.

Разумеется, мы, взрослые, могли бы собраться в полночь еще раз, но заранее условились не делать этого. Ведь момент, когда Новый год сменяет старый, выбран совершенно произвольно и зависит лишь от принятого у нас способа измерения времени и нашего летосчисления. Никаких перемен для того, чтобы выделять этот момент времени среди других или приписывать ему особое значение, в природе не существует.

Итак, по известным теперь вам причинам мои домочадцы разошлись из-за стола, а я остался, чтобы посидеть у очага и побеседовать со своим старшим сыном о третьем измерении. И тут это случилось. Я хочу сказать, что мне вдруг послышался какой-то странный звук, шорох или тихое гудение. Откуда он доносился, я не мог никак понять и вопросительно посмотрел на сына.

— Тебе что-нибудь послышалось? — сказал он.

— Да, но что это? — спросил я.

— Трудно сказать. Не понимаю, откуда доносится звук.

— Я тоже, — пришлось признаться мне.

Звук стал явственнее и быстро смолк. Между мной и сыном появилась какая-то точка, которая начала быстро увеличиваться в размерах. Нет, это была не точка, а растущая на глазах окружность. Спустя какое-то время она стала уменьшаться, сначала медленно, а затем всё быстрее и быстрее. Наконец она стянулась в точку и исчезла совсем.

Мы с сыном смотрели друг на друга, потрясенные, но не испуганные.

— Это была Сфера, — промолвил сын.

— Думаю, что так, — согласился я.

— Значит, все-таки… — начал было он, но не закончил.

— Да! — сказал я. — Существование Трехмерия — не гипотеза, а реальность. Мои дед действительно познакомился с реально существующей Сферой.

До нас донесся таинственный голос:

— Я возвращаюсь. Я — Сфера, только что прошедшая насквозь вашу плоскость. Смотрите! Сейчас я пройду сквозь нее еще раз в обратном направлении.

И действительно, мы снова увидели точку. Она стала расти и увеличиваться в своих размерах до тех пор, пока не превратилась в окружность — наибольшее сечение Сферы нашим двумерным миром.