Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

У хаотической системы совсем другие свойства. Небольшая исходная разница между двумя идентичными во всех других отношениях системами будет здесь быстро расти. Собственно, одна из самых принципиальных отличительных черт хаоса – в том, что расхождения будут при этом нарастать экспоненциально. Для проблемы создания прогноза это означает, что любая ошибка на входе увеличивается с нарастающей скоростью (как функция от времени), так что вскоре она превзойдет рассчитываемые величины, и наши расчеты утратят всю предсказательную силу. Небольшие ошибки на входе стремительно вырастают до размеров, губящих любые прогностические вычисления.

Разницу между хаотическим и нехаотическим поведением хорошо иллюстрирует пример со сферическим маятником – таким, который может свободно раскачиваться в разных направлениях. На практике можно использовать шар, подвешенный на нити. Если приложить к оси вращения такого объекта периодически меняющуюся силу, он начнет раскачиваться. Спустя какое-то время может установиться стабильный и совершенно предсказуемый рисунок движения, при котором шар будет проходить по эллиптической траектории, подчиняясь частоте воздействующей на него внешней силы. Однако если эту частоту слегка изменить, регулярное движение может сползти в хаос, когда маятник качается сначала в одной плоскости, потом в другой, затем проделывает несколько поворотов по часовой стрелке, затем – против часовой стрелки, и все это – случайным образом (по крайней мере, так будет казаться).

Случайный характер такой системы – отнюдь не порождение мириад скрытых степеней свободы. Построив математическую модель всего лишь трех наблюдаемых степеней свободы (трех возможных направлений движения маятника), можно показать, что даже при таком допущении поведение маятника случайно. И это несмотря на то, что данная математическая модель предельно детерминирована.

Раньше многие предполагали, что детерминизм идет рука об руку с предсказуемостью, но теперь мы видим, что это не обязательно всегда должно быть так. Детерминистическая (детерминированная) система – та, чьи будущие состояния полностью предопределены (детерминированы) действием какого-то динамического закона, ее предшествующими состояниями. Однако детерминизм подразумевает предсказуемость лишь в идеальной ситуации – при бесконечной точности наблюдения. Так, поведение нашего маятника уникальным образом определяется начальными условиями. Среди исходных данных – первоначальное положение шара, поэтому для идеальной предсказуемости нужно узнать конкретные числовые параметры, точно описывающие расстояние от центра шара до фиксированной точки, к которой привешена нить. А такая бесконечная точность недостижима.

Любой прогностический расчет будет содержать в себе какие-то ошибки на входе, поскольку мы не в состоянии количественно измерять физические величины с бесконечной точностью. Более того, компьютеры способны обрабатывать лишь конечные объемы данных.

Для нехаотических систем это не такое уж серьезное ограничение, так как ошибки в них растут медленно. Но в системе хаотической погрешности растут с увеличивающейся скоростью. Допустим, у вас есть неопределенность в пятом знаке после запятой и по истечении времени t эта неопределенность начинает влиять на предсказание того, как система себя поведет. Более точные измерения могли бы уменьшить неопределенность результата до десятого знака после запятой. Но экспоненциальный характер нарастания ошибки подразумевает, что неопределенность теперь проявит себя по истечении времени 2t. Иными словами, улучшение точности исходного измерения в 100 тысяч раз позволяет увеличить интервал предсказуемости всего лишь в два раза. Именно такая «чувствительность по отношению к исходным условиям» породила, к примеру, известное утверждение насчет того, что бабочка, взмахнувшая крыльями на берегу Амазонки, способна в конечном счете вызвать торнадо в Техасе.

Очевидно, хаос служит для нас неким мостиком между законами физики и законами случайности. В каком-то смысле хаос (или случайные события) действительно всегда и везде можно объяснить нашим неведением деталей. Везде – кроме, пожалуй, квантовой теории. Броуновское движение кажется случайным из-за немыслимого количества степеней свободы, которые мы сознательно не учитываем, тогда как детерминистический хаос кажется случайным из-за нашего вынужденного незнания тончайших подробностей, относящихся к немногочисленным степеням свободы. Броуновский хаос сложен для понимания из-за того, что все эти молекулярные бомбардировки – сами по себе процесс очень запутанный. А вот движение, к примеру, сферического маятника является сложным, несмотря на то, что сама по себе эта система очень проста. Таким образом, сложное поведение не обязательно подразумевает действие каких-то сложных сил или законов. Изучение хаоса позволило выявить, как это вообще возможно – примирить сложность физического мира (демонстрирующего такое прихотливое и капризное поведение) с упорядоченностью и простотой законов природы, лежащих в его основе.