Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

Бегло проглядывая сведения о продажах за год, Алекс не обнаружил в них ничего особенно странного, но все равно проделал над ними диковинную процедуру, которую требовал от своих студентов профессор Марк Нигрини, преподаватель бухгалтерского дела. Алекс подсчитал, какая доля чисел, обозначающих выручку от продажи товара, начиналась с цифры 1. Эта доля составила 93 %. Он спокойно сдал курсовую и забыл об этих результатах.

Позже, читая студенческие работы, Нигрини наткнулся на эту величину и сразу же понял: здесь может возникнуть очень деликатная ситуация. Его подозрения лишь укрепились, когда он просмотрел остальную часть анализа Алекса, относящегося к бухгалтерии его зятя. Ни одно из чисел, обозначавших выручку от продаж, не начиналось с цифр, лежащих в диапазоне от 2 до 7. При этом лишь 4 числа начинались с восьмерки, а 21 – с девятки. Проверив еще кое-что, Нигрини уже не сомневался: зять Алекса – мошенник, систематически подделывающий финансовую отчетность, дабы избежать нежелательного внимания банковских менеджеров и налоговых инспекторов.

Попытка была вполне убедительная. На первый взгляд, сведения о продажах не показывали ничего слишком уж подозрительного: в них не просматривалось никаких внезапных взлетов или падений, которые обычно привлекают взор контролирующих инстанций. Но в том-то и дело: они оказались чересчур гладкими, а потому и стали жертвой математического ритуала, порученного Алексу профессором.

Нигрини знал (а зять Алекса, очевидно, нет), что цифры, из которых слагаются данные о выручке магазина, должны следовать математическому правилу, открытому больше века назад и названному законом Бенфорда. Этому закону подчиняется необычайно широкий диапазон явлений, от цен на фондовом рынке или данных переписи населения до теплоемкости химических веществ. Даже числовые величины, произвольно надерганные из газет, будут соответствовать требованиям этого закона, предписывающего, чтобы примерно 30 % чисел в выборке начинались с единицы, 18 % – с двойки… и так далее, вниз и вниз по размеру процентной доли, вплоть до 4,6 % для девятки.

Это настолько неожиданный закон, что поначалу многие даже отказываются верить в его справедливость. Не один год закон Бенфорда проходил по разряду математических курьезов. Однако сегодня его воспринимают всерьез самые разные специалисты – от бухгалтеров-криминалистов до разработчиков компьютеров. Все они полагают, что эта закономерность способна помочь им распутывать некоторые сложнейшие проблемы с ошеломляющей легкостью.

История открытия этого закона – такая же странная, как и он сам. В 1881 году американский астроном Саймон Ньюком отправил в American Journal of Mathematics заметку, где сообщал о необычной особенности справочников логарифмов, которую он обнаружил. (Таблицы логарифмов в те времена широко использовались учеными при вычислениях.) Первые страницы таких справочников, похоже, имели тенденцию пачкаться гораздо быстрее, чем все последующие.

Напрашивалось озадачивающее объяснение: по неизвестным причинам люди гораздо чаще делают расчеты для чисел, начинающихся с единицы, чем для чисел, которые начинаются с восьмерки или девятки. Ньюком даже предложил формулу, неплохо описывающую такую разницу: похоже, природе нравится устраивать так, чтобы доля чисел, начинающихся с цифры, которую он обозначил как D, равнялась десятичному логарифму от 1 + (1/D) (см. «Здесь, там и везде»).

Впрочем, Ньюком не привел никаких особенно убедительных доводов в пользу того, почему его формула должна работать, поэтому заметка не вызвала такого уж интереса. Эффект Засаленных Страниц забыли более чем на полвека. Но в 1938 году физик Фрэнк Бенфорд, сотрудничавший с американской компанией General Electric, заново открыл тот же эффект и вывел ту же закономерность, что и Ньюком. Однако Бенфорд пошел гораздо дальше. Используя более чем 20 тысяч чисел (извлеченных отовсюду – от таблиц площади речных бассейнов до чисел, встречающихся в старых журнальных статьях), Бенфорд показал, что все они подчиняются следующему основному закону:

примерно 30 % этих чисел начинается с единицы, 18 % – с двойки и т. п.

Бенфорд, как и Ньюком, не нашел никакого достойного объяснения закона. Но сам гигантский объем данных, которые Бенфорд представил для демонстрации справедливости и вездесущности закона, привел к тому, что его имя с тех пор всегда ассоциируется с этим правилом.