Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

В течение еще примерно четверти века никто не мог дать удовлетворительный ответ на главный вопрос: почему, скажите на милость, этому закону должно подчиняться такое гигантское количество всевозможных источников чисел? Первый большой шаг вперед удалось сделать в 1961 году. Роджер Пинкхем, математик, работавший тогда в Ратгерском университете (Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси), подошел к делу обходным путем, хотя и не без изящества. Он рассуждал так. Предположим, действительно существует некий универсальный закон, которому подчиняются цифры в числах, описывающих природные явления и объекты (площадь бассейнов рек, свойства веществ и т. п.). Тогда такой закон должен работать независимо от используемых единиц измерения. Иными словами, даже обитатели планеты Зоуб, измеряющие площадь в грондеках[15], должны обнаружить точно такое же распределение цифр в данных о бассейнах рек, как и мы, скромно пользующиеся гектарами. Но как такое возможно, если в одном гектаре 87,331 грондека?

А значит, говорит Пинкхем, следует добиться, чтобы на распределение цифр не влиял выбор единиц измерения. Допустим, вам известна выраженная в гектарах площадь бассейна для миллиона рек. Конечно, перевод каждого из этих значений в грондеки изменит каждое отдельное число. Но в целом характер распределения этих чисел не изменится. Это свойство называют инвариантностью по отношению к изменениям масштаба.

Пинкхем математически доказал, что закон Бенфорда действительно обладает инвариантностью по отношению к используемой шкале измерения. Но важнее всего то, что он также продемонстрировал: закон Бенфорда – единственный метод распределения цифр, обладающий таким свойством. Иными словами, любой закон, описывающий частоту встречаемости цифр и претендующий на универсальность, просто обязан оказаться законом Бенфорда.

Работа Пинкхема вызвала бурный рост доверия к закону, побудив и других ученых отнестись к нему серьезно и придумывать возможные сферы его применения. Впрочем, оставался ключевой вопрос: какого рода числа будут следовать закону Бенфорда? Довольно быстро обнаружились два ориентировочных правила. Прежде всего, выборка чисел должна быть достаточно большой, чтобы предсказанные пропорции могли в ней по-настоящему проявиться. Кроме того, числа должны быть свободны от искусственных ограничений: им нужно позволить принимать, в сущности, любое значение, какое им заблагорассудится. К примеру, совершенно бесполезно ожидать, что цены на 10 разных сортов пива будут отвечать закону Бенфорда. Мало того, что выборка чересчур мала: важнее то, что под действием рыночных сил цены вынуждены оставаться в рамках узкого, фиксированного диапазона.

С другой стороны, истинные случайные числа тоже не будут подчиняться закону Бенфорда: все первые цифры таких чисел будут по определению представлены в равных долях (при достаточно большой выборке). Закон Бенфорда относится к числам, занимающим «промежуточное положение» – между жестко ограниченными и совершенно необузданными.

Что же это, собственно, означает? Подробности оставались тайной вплоть до 1996 года, когда математик Теодор Хилл из Технологического института штата Джорджия (Атланта) сумел еще больше углубиться в истоки закона Бенфорда. Он понял, что закон обусловлен многообразием путей, какими задаются ограничения и закономерности для результатов различных видов измерений. В конечном счете все, что мы способны измерить, является результатом того или иного процесса: например, случайных скачков атомов или генетических актов. Математикам давно известно, что разброс значений для каждого такого процесса следует тому или иному базовому математическому правилу. К примеру, данные о росте банковских менеджеров отлично укладываются на колоколообразную кривую (гауссиану), среднесуточные температуры воздуха растут и падают волнообразно, а силу и частоту землетрясений связывает логарифмическая зависимость.

А теперь представьте, что вы произвольным образом выхватываете охапки данных из кучи всевозможных распределений такого рода. Хилл доказал: чем больше таких чисел вы будете выхватывать, тем ближе цифры этих чисел будут соответствовать одному весьма специфическому закону. Речь идет о законе распределения распределений, то есть о некоем «универсальном распределении». Его математическая форма представляет собой, как показал Хилл… все тот же закон Бенфорда.

Теорема Хилла детально объясняет поразительную вездесущность закона Бенфорда. Ну да, числа, описывающие некоторые явления, находятся под контролем какого-то одного распределения (скажем, той же гауссианы). Но гораздо больше таких, чье поведение определяется случайной смесью всевозможных распределений. Подобные числа описывают самые разные вещи – от данных переписи населения до цен на акции. Если теорема Хилла верна, это означает, что цифры в этих данных обязаны следовать закону Бенфорда. И, как показывает грандиозное исследование самого Бенфорда (и изыскания многих его последователей), так действительно и происходит.