Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

Здесь, там и везде

Особое пристрастие природы к определенным числам и числовым последовательностям с давних пор восхищает математиков. Так называемое «золотое сечение», соотношение, примерно равное 1,62:1 (и, как многие полагают, позволяющее строить наиболее изящные прямоугольники), обнаруживают таящимся в самых разных местах, от морских ракушек до морских узлов. Или возьмем ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8… (каждое новое число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих). Эта последовательность встречается в природе буквально повсюду, характеризуя и распределение листьев на стеблях, и спиральный узор семян в головке подсолнуха, и многое, многое другое.

По-видимому, закон Бенфорда – еще одно такое фундаментальное свойство математической вселенной. Согласно этому закону, процентная доля чисел, которые начинаются с цифры, обозначаемой нами как D, составляет 100 × log₁₀(1 + (1/D)). Таким образом, около 30 % чисел будут начинаться с единицы, 17,6 % чисел – с двойки… и так вплоть до девятки, с которой начинается 4,6 % чисел. (Напомним, этому закону подчиняются не всякие выборки чисел.)

Но математика закона Бенфорда позволяет предсказать и встречаемость всех прочих цифр, а не только первых. К примеру, этот закон предсказывает, что ноль будет наиболее вероятной второй цифрой (его доля – примерно 12 % среди всех вторых цифр), тогда как девятка – наименее вероятная вторая цифра (ее доля – около 8,5 %).

Таким образом, из закона Бенфорда следует, что наиболее частые неслучайные числа будут начинаться с 10. Они будут встречаться нам почти вдесятеро чаще, чем те, что начинаются с наименее вероятного сочетания – 99.

Как нетрудно догадаться, закон Бенфорда предсказывает, что доли единиц, двоек, троек и т. д. по мере продвижения вправо (то есть по мере увеличения «номера» цифры) будут все сильнее сглаживаться, стремясь к 10-процентной доле для последней значимой цифры каждого большого числа.

Еще один забавный поворот: оказывается, ряд Фибоначчи, золотое сечение и закон Бенфорда взаимосвязаны. Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению, а цифры всех чисел в ряду Фибоначчи стремятся к ситуации, когда они подчинены закону Бенфорда.

Давайте потеряемся