Синергетика и прогнозы будущего

Посмотрим на проблему анализа и интерпретации исторических наблюдений глазами естественника. По существу, мы находимся в той же ситуации, в которой оказывались пленники в пещере в известной платоновской притче. Обитатели пещеры, прикованные к стене, могут наблюдать только тени на противоположной стене, которые отбрасывают люди, проходящие мимо пещеры, либо предметы, проносимые ими. Могут ли узники на этой основе, не ставя каких-либо опытов, составить представление о мире вне пещеры?

Рис. 8. Типичная ситуация, в которой "плоскатики" сталкиваются с высшими силами.

Развитие астрономии и небесной механики убеждает, что, несомненно, могут. Замечательной особенностью этих задач является то, что движение ряда небесных тел периодично со сравнительно небольшим периодом, и что число переменных, определяющих движение данного тела по небесному своду, невелико (мала размерность фазового пространства). Однако можно представить себе противоположную ситуацию. В ней, например, находятся двумерные существа, живущие на сфере. Кто-то, живущий в трех измерениях, может взять предмет, находящийся в одном месте сферы, и переместить в другое (см. рис.8), воспользовавшись третьим измерением. Поскольку это измерение "плоскатикам" недоступно, они будут относить происходящее на счет стихийных бедствий, божественных сил или загадочных "неплоских сущностей". У них в такой ситуации нет шанса развить технику "динамического прогноза", позволяющего по предыстории прогнозировать будущее. Естественно, в таком положении могут оказаться и пленники пещеры.

В последнее десятилетие активно развивалась техника, позволяющая по ряду наблюдений динамической переменной {a_i}восстанавливать динамическую систему =(), описывающую этот ряд a_i=g((iDt))

⁼⁽⁾,

^є(x1^{, ..., x}p⁾

(0) =₀

{a_i} = {a₁, ..., a_N}, a_i=g((iDt)

где Dt – заданный интервал времени. Алгоритмы для нахождения функции и g, размерности пространства p получили название алгоритмов реконструкции аттракторов. Функция, определяющая дифференциальное уравнение (в дискретном случае можно рассматривать отображение_n+1 =(_n)) позволяет построить предсказывающую систему или предиктор для исследуемого процесса [16, 17]. Задача (6) о построении динамической системы по временному ряду, вообще говоря, некорректна. Один и тот же ряд можно "объяснить" с помощью различных динамических систем. Поэтому при исследовании (6) используется различная априорная информация и упрощающие предположения. Тем не менее в ряде случаев использование уже существующих алгоритмов решения сформулированной задачи могло бы помочь пленникам пещеры. В частности, они могли бы оценить величину p, отражающую число существенных переменных или размерность фазового пространства, в котором разворачиваются процессы в наблюдаемой ими части реальности.

По-видимому, часть исторических явлений (в которых ключевыми являются макроэкономические, демографические и другие медленные процессы) допускает удовлетворительное динамическое описание. В то же время другая часть (ряд политических решений, многие военные столкновения и другие) возвращает нас к ситуации "плоскатиков на сфере" и проблемам теории управления.

В соответствии с этим развиваются несколько основных подходов к динамическому прогнозу исторических процессов. В первом, трудности получения "среднесрочного исторического прогноза" (10-20 лет) связывают с тем, что в изучаемой системе имеет место детерминированный хаос. Типичная локальная картина в этом случае представлена на рис.9. Система обладает чувствительностью к начальным данным и бесконечно близкие траектории в ней обычно экспоненциально разбегаются (см. рис.9).

Рис. 9. Устойчивость данной траектории x(t) зависит от поведения бесконечно близких траекторий.

И действительно, А.Ю.Андреевым и М.И.Левандовским была предложена модель, обладающая странным аттрактором [5]. Для описания забастовочного движения эта модель представляет собой модификацию известной в химической кинетике системы Ресслера, которая использовалась также при описании эпидемий. Построенная динамическая система имеет вид

= m (N-X) - bXZ

= bXZ - (m+a)Y

= aY - (m+g) Z

= gZ - mW

Здесь N – общее число рабочих, занятых на предприятиях губернии, X – число рабочих, еще не воспринявших информацию о забастовке, Y – рабочие, согласившиеся забастовать, но не ведущие активную агитацию, Z – рабочие, становящиеся агитаторами, W – рабочие, отказавшиеся от участия в стачечной борьбе после одной из забастовок. Оказалось, что эта модель вполне удовлетворительно количественно описывает число рабочих, бастовавших во Владимирской губернии в 1895 – 1905 гг. Любопытно, что одна из базовых моделей нелинейной динамики – система Ресслера, оказалась весьма удобным и универсальным "строительным блоком" для построения математических моделей в нескольких областях.