Синергетика. Основы методологии

В случае, если возможные исходы бифуркационного события до его свершения составляют континуум и плотность вероятности является гладкой функцией от меры, такой подход невозможен, так как величина энтропии зависит от числа разбиений континуального множества и стремится к бесконечности при увеличении числа элементов разбиения. Однако в этом случае энтропия события может быть представлена в виде двух составляющих, одна из которых стремится к бесконечности, сохраняя универсальный закон зависимости от числа разбиений, а другая в пределе не зависит от числа разбиений, а лишь от формы кривой распределения плотности вероятности по пространству возможных состояний. Эту последнюю часть и можно принять за энтропию события в этом случае.

После свершения бифуркационного события система оказывается в некотором определённом состоянии. Её энтропия обращается в нуль. А наблюдатель получает количество информации, равное энтропии события до его свершения.

5. Граф структур и событий. Бифуркационная координата. Переходные матрицы и дифференциальные уравнения

У исследуемой системы можно выделить два характерных типа поведения.

Периоды сравнительно плавных изменений, когда система может быть приближённо описана как детерминированная и для её описания пригодны методы теории динамических систем (русла в терминологии Г.Г.Малинецкого). Этим периодам соответствуют рёбра графа структур и событий.

Периоды резких бифуркационных изменений — бифуркационные события — (джокеры в терминологии Г. Г. Малинецкого), в результате которых система может оказаться не в одном детерминированном, а с различной степенью вероятности в каждом из спектра возможных состояний, выбор одного из которых заранее не предрешён.

Приближённое графическое представление последовательности связанных между собой бифуркационных событий, которые уже произошли и которые ещё могут произойти, мы назвали графом структур и событий.

В графе структур и событий особо следует выделить текущий момент времени.

Позади него прошлое, события в котором уже свершились, впереди — будущее, которое должно быть предсказано с той или иной степенью вероятности. Предсказание будущего, получение знания о будущем — основная задача исследователя.

При анализе графа целесообразно выделить в качестве опорных два предельных случая.

Граф с бесконечной памятью

Пусть система устроена таким образом, что после каждого бифуркационного события она может оказываться только в новых состояниях, отличных от предыдущих. Причём, время и относительные вероятности реализации этих состояний известны.

Граф становится «математическим деревом».

Вероятность и амплитуду вероятности для каждого состояния в будущем можно вычислить как произведение относительных вероятностей или амплитуд по единственному пути, ведущему к данному состоянию в соответствии с рассмотренными выше формулами элементарной теории вероятностей.

Если мы знаем, в каком состоянии оказалась система в данный момент, то можем определить не только всю цепочку бифуркационных событий, которую она прошла, но и все их исходы. Поэтому такой граф назван нами графом с бесконечной памятью.

Однако, определение относительных вероятностей и моментов свершения будущих бифуркационных событий представляет отдельную задачу, решение которой относится к проблеме получения знаний. В случае графа с бесконечной памятью она практически неразрешима, если знания о будущем не даны нам априори.

Граф системы с конечным числом состояний

В этом случае появляется зависящая от времени матрица вероятностей перехода из одного состояния в другое при совершении серии бифуркационных событий. Если бифуркационные события происходят регулярно, то могут быть рассчитаны асимптотические статистические распределения вероятностей и определено асимптотическое значение энтропии системы в будущем.

Если частота бифуркационных событий в выбранном нами масштабе времени стремится к бесконечности, а число состояний системы становится большим, что чаще всего происходит в системах состоящих из большого числа элементов, то к исследованию графа структур и событий можно применять методы случайных процессов. Можно считать происходящие процессы непрерывными и для их изучения использовать стохастические и детерминированные уравнения сплошной среды.

Глава 6. Транспортно-информационные системы

1. Переход от одной системы или структуры к совокупности систем или структур. Статистические закономерности