Системная технология

Если это условие не выполняется, т.е. a1-оптимальный гамильтонов цикл не является a2-оптимальным, то какой-то из простых путей длины a1 можно улучшить изменением обхода каких-то а2 вершин, что противоречит условия a1-оптимальности.

Перейдем к определению условия а-оптимальности, получаемого аналогично тому, как условие (9.2.3) получено из (9.2.2), из системы неравенств вида (9.2.2,), для любого a=const суммированием для всех ik=1,2, ... , п

Для каждого значения k

будет иметь место система из ((а-2)!-1) неравенств по числу элементов множества Р, состоящего из (а-2)! перестановок чисел i'k+1, i'k+2, ..., i'k+a-2

При этом мы полагаем, что

Обозначим левую и правую части условия (9.2.4) буквами А и В, соответственно:

А ? В.

В левой части неравенства вес каждого ребра, принадлежащего проверяемому участку гамильтонова цикла, участвует точно по одному разу в каждом неравенстве системы из ((а-2)!-1)

неравенств, задаваемых перестановками, принадлежащими множеству Р, при фиксированной начальной вершине.

Кроме этого, при заданном a=const, если производить проверку выполнения условия (9.2.4), изменяя последовательно номер начальной вершины от i1 до in, то любое ребро гамильтонова цикла появится точно в (а-1) системах из этих ((а-2)!-1) неравенств как первое по счету, второе, третье и т.д. (а-1)-е ребро в проверяемых участках гамильтонова цикла.

Следовательно, левая часть неравенства (9.2.4) имеет вид:

Выражение для правой части условия (9.2.4) можно записать в виде:

Для того, чтобы получить выражение для правой части условия (9.1.4), необходимо найти число появлений ребер графа вида (ic, ic+N

) в каждой системе из ((а-1) !-1) неравенств, задаваемых определенным значением k, а также во всех системах этих неравенств, получаемых при изменении ik от i1 до in.

Очевидно, что число появлений пар (ic, ic+N) в правых частях неравенств вида (9.2.4) равно числу появлений пар (ic, ic+N) в последовательностях:

ik, i'k+1, i'k+2, ..., i'k+a-2, ik+a-1 (9.2.5.)

задаваемых (а-2)! перестановками чисел i'k+1, i'k+2,..., i'k+a-2

Следует учесть также, что одна из этих последовательностей, а именно i1, i2, i3, ..., ik+a-1 находится в левой части этих неравенств.

Пары icic+N можно разделить на следующие виды по признаку, содержат они или нет «неподвижные» вершины ik и ik+а-1:

а) icic+N при с ? k; с+п < к+а-1; п>1, п ? а-2; это пары элементов в (9.2.5), не содержащие элементов ik, ik+а-1 и тех элементов (i1, i2, i'2 , i3, i'3, i4 и т.д.), которые входят в гамильтонов цикл (9.2.1а).

Каждая из пар этого вида появится в системе неравенств (9.2.4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (а-3)(а-4)! раз – по числу (а-4)! перестановок (а-4) элементов, т.е. элементов последовательности (9.1.5) за вычетом элементов ik, ik+a-1, ic, ic+N для каждого из (а-3) возможных положений пары ic, ic+N в последовательности (9.2.5).

б) ic, ic+N при n>1, с=k и ic+N ic+a-1 при n < а-2, с=k это пары элементов в (9.2.5), содержащие элементы ik или ik+a-1 и элементы гамильтонова цикла (9.2.1а).

Каждая из этих пар появится в системе неравенств (9.2.4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (а-3)! раз по числу возможных перестановок (а-3) элементов, т.к. элементы ik, ik+N, ik+a-1 для этих пар «неподвижны».

Кроме этого, в совокупностях пар обоих видов надо выделить пары ic, ic+1, т.е. пары элементов гамильтонова цикла (9.2.1а). Тогда можно считать, что каждая из этих пар появится в системе неравенств (9.2.4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in точно ((a-3)!-1) раз по числу появлений пар вида а) или б) и за вычетом появлений одной пары, находящейся в левой части неравенства (9.2.4).