События и люди. Издание пятое, исправленное и дополненное.

В прежних работах А. А. Власова (1938 г.) этот метод применялся к теории электронной плазмы, в которой главную роль играют кулоновские (медленно убывающие с расстоянием) силы. Такое применение метода законно и не встречает возражений (мы оставляем здесь в стороне математические ошибки А. А. Власова, допущенные им при решении уравнений и приведшие его к выводу о существовании «дисперсионного уравнения»; эти ошибки повторяются им и в его последних статьях и будут разобраны нами в 2).

В новых работах проф. Власова [1–5] этот же метод применяется им к случаю короткодействующих сил, интеграл от потенциала которых, взятый по бесконечному пространству, сходится, и притом для тел в жидком и даже в кристаллическом состоянии. Такое применение метода самосогласованного поля, лежащее в основе выводов Власова, является неправильным и ведет к ошибочности результатов разбираемых работ.

Для вопросов, относящихся к термодинамическому равновесию (в частности в рамках классической статистики, на почве которой целиком стоит в этих работах А. Власов), общие методы статистики, например метод Гиббса, как известно, принципиально дают полное решение задачи. Поэтому метод «самосогласованного поля» может быть лишь приближенным вычислительным приемом, подлежащим обоснованию с помощью общих методов.

Однако правильность метода «самосогласованного поля» для короткодействующих сил в случае тел большой плотности при низких температурах ни Власовым, ни кем-нибудь другим обоснована не была, хотя подобные методы и могут быть оправданы для случая, когда отношение плотности тела к температуре достаточно мало (газ, близкий к идеальному). В частности, попытка А. А. Власова дать вывод основного применяемого им уравнения из распределения Гиббса может быть правильна лишь при этих условиях, что видно хотя бы уже из того, что А. А. Власовым используется больцмановское выражение для вероятностей положения пар частиц.

Более того, применение «метода самосогласованного поля» приводит к выводам, противоречащим простым и бесспорным следствиям классической статистики, касающимся свойств тел при низких температурах.

Таким образом, представления А. А. Власова (принимающего ведь классическую статистику) ведут к фундаментальному внутреннему противоречию. Кроме того, применение метода «самосогласованного поля» приводит (как мы также сейчас покажем) к результатам, физическая неправильность которых видна уже сама по себе.

Для случая термодинамического равновесия метод «самосогласованного поля» в том виде, в каком им пользуется А. А. Власов, сводится к следующему уравнению для плотности частиц (уравнение (26) из работы [2]):

где K(r) — потенциал взаимодействия двух частиц.

К этому уравнению для определенности задачи должно быть, в сущности, добавлено еще условие нормировки ρ, задающее общее число частиц и состоящее в том, что это общее число частиц равно интегралу от ρ по всему объему, занятому телом. Из этого условия и должна быть определена зависящая от T постоянная A(T).

Рассмотрим решение уравнения (1) при очень низких температурах и сопоставим его с известными результатами классической статистики. Для простоты разберем одномерный случай, цепочку частиц, потенциал взаимодействия которых K(x_m - x_n) зависит только от расстояния между ними.

По классической статистике, применяя метод Гиббса, мы получаем следующее. Частицы находятся вблизи положений равновесий, определяемых из условий минимума потенциальной энергии системы

так как только при этом условии вероятность состояния имеет заметную величину. Условия равновесия для внутренних точек

удовлетворяется при периодическом расположении частиц: x_n = nd, так как K'(x) — нечетная функция на x, и, следовательно:

период d зависит от величины внешней силы p (давления), действующей на поверхность тела:

Плотность частиц p(x) для ограниченной цепочки частиц, когда задача имеет определенное решение, равна

При этом средний квадрат β_n² определяется известным путем, зависит от расстояния от конца цепочки и растет от края к середине ее (примерно по параболическому закону), как это и должно быть на основании простых и наглядных соображений.

Перейдем теперь к разбору свойств решений уравнения (1), применяемого А. А. Власовым при низких температурах. Уравнение это в одномерном случае сводится к такому:

причем

где M — число частиц. Как видно отсюда, при T → 0 плотность ρ(x) будет иметь резкие максимумы и заметную величину вблизи точек x_n, для которых V(x) имеет минимум и для которых, следовательно,

Для бесконечной цепочки точки x_n будут расположены периодически, т. е. x_n = nd.

Величину V(x) = ʃ K(x — x')ρ(x')dx' можно в этом случае, учитывая еще условие нормировки ρ(x), записать в виде суммы:

Теперь условие (7) дает