События и люди. Издание пятое, исправленное и дополненное.

где e — заряд электрона, n — плотность электронов, а χ — постоянная Больцмана. Это позволило ему получить сходящийся интеграл парных столкновений и записать кинетическое уравнение (1) в виде

где

Здесь u = v — v₁ — относительная скорость сталкивающихся частиц, а L — кулоновский логарифм

Суммирование в (5) распространяется по электронам и ионам.

Заметим, что при условии (4) поле пробного статического заряда q в плазме оказывается экранированным, причем потенциал поля дается формулой

где  — дебаевский радиус, его можно считать характерным радиусом взаимодействия заряженных частиц в плазме. Именно это обстоятельство и использовал Ландау при выводе уравнения (5) и получил сходящийся интеграл столкновений, когда обрезал кулоновское взаимодействие на дебаевском радиусе.

Вместе с тем, если r_p сравнить со средним расстоянием между частицами, то окажется, что их отношение велико:

Это означает, что в сфере действия заряженной частицы находится большое число других частиц, и в этом смысле возникает сомнение в справедливости учета только парных столкновений, а следовательно, и самого кинетического уравнения Ландау (5).

3. Первым, кто обратил внимание на неприменимость больцмановского приближения для описания плазмы, был А. А. Власов, который писал [3]: «Метод кинетического уравнения, учитывающий только парное взаимодействие — взаимодействие посредством удара — для системы заряженных частиц является аппроксимацией, строго говоря, неудовлетворительной. В теории таких совокупностей существенную роль должны играть силы взаимодействия и на далеких дистанциях. Следовательно, система заряженных частиц есть по существу не газ, а своеобразная система, стянутая далекими силами»[50]. При этом А. А. Власов обосновывал свое утверждение из неравенства (8), являющегося следствием (4). Согласно (4), внутри радиуса действия сил находится одновременно много частиц, в то время как, согласно приближению Больцмана (3), должно иметь место обратное условие. Это и натолкнуло А. А. Власова на мысль ввести взаимодействие данной частицы одновременно со всеми частицами плазмы посредством создаваемых этими частицами электромагнитных полей как главное взаимодействие. Парные же взаимодействия должны учитываться как малые поправки.

В результате кинетическое уравнение для электронов запишется в виде

В отличие от уравнения Ландау (5) здесь поля E и B — это полные поля, создаваемые не только внешними источниками, но и самими частицами плазмы. Поэтому они удовлетворяют уравнениям Максвелла

в которых кроме внешних источников p^ext и j^ext фигурируют индуцированные в плазме источники:

Здесь так же, как и выше, суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц.

Что же касается (не выписанного) столкновительного члена в уравнении (9), то А. А. Власовым он считался малым и принимался в форме Ландау (5). Однако, оставаясь в рамках приближения Больцмана, обрезание взаимодействия, по его мнению, следовало делать не на дебаевском радиусе, а на длине порядка среднего расстояния между электронами. Поэтому кулоновский логарифм L в теории Власова принимался в η^-1 раза меньшим, чем (6). Это, на первый взгляд, несущественное отличие в действительности является принципиальным. Здесь надо отдать должное физическому чутью Ландау, который в этом моменте оказался полностью прав. Строго это, однако, было доказано лишь в конце 1950-х годов А. Ленардом и Р. Балеску, получившими интеграл парных столкновений с учетом поляризации плазмы и обосновавшими обрезание взаимодействия на дебаевском радиусе (см. учебник [7]). Последовательный же вывод уравнения (9) методом разложения по параметру (4) был дан, как уже отмечалось выше, в монографии Н. Н. Боголюбова [4]. Систему уравнений (9) — (11) в пренебрежении парными столкновениями в литературе принято называть системой уравнений Власова-Максвелла, а само кинетическое уравнение (9) — уравнением Власова. Часто последнее еще называют кинетическим уравнением для бесстолкновительной плазмы. Такое название, однако, следует считать неудачным, поскольку уравнение (9) даже без учета правой части учитывает дальние столкновения, а точнее — взаимодействие частиц посредством самосогласованных полей[51].

А. А. Власов на основе приведенной системы уравнений в пренебрежении парными столкновениями исследовал малые линейные колебания плазмы в отсутствие внешних источников и внешних полей. При это он показал, что в такой изотропной плазме существуют чисто продольные (в которых Е = —Ф) и чисто поперечные (в которых divE = 0) волны, и получил для них в общем виде дисперсионные соотношения, связывающие частоту и и волновой вектор k для возмущения вида exp(—iωt + ikr). Здесь приведем результаты анализа только чисто электронных продольных колебаний, поскольку именно они перекликаются с результатами работ Л. Д. Ландау.