Сократ Сибирских Афин

— Да, — согласился Сократ, совсем недавно разбиравшийся в этой проблеме вместе со славным Агатием. — При таком подходе придется бесконечно указывать пространство пространства и поэтому никогда не удастся получить ответ, где находится место.

— Значит, — сказал Зенон, — неправомерно вообще утверждение о существовании места пространства, протяженности отдельно от бытия. Само бытие протяженно и протяженно именно таким образом, что если исчезнет протяженность, исчезнет и бытие.

— Похоже, что так, — согласился Сократ.

— Вернемся тогда к понятию множества, — предложил Зенон. — Чтобы дать исчерпывающее определение множества, надо указать такие его части, которые были бы уже неделимы. Иначе каждая часть, будучи делимой, снова станет множеством и придется определять уже ее части, а если те, в свою очередь, будут делимы, то определять их новые множества, и так бесконечно. Поэтому необходимо признать конечные, неделимые части множества — его единицы. Далее, необходимо существование многих единиц, из которых составилось множество. А это значит, что единицы множества отграничены, существуют отдельно друг от друга. Иначе они представляли бы сплошную массу, и тогда не было бы ни единиц, ни множества. Множество же есть совокупность единиц.

Такое определение множества, как совокупности единиц, далее неделимых показалось мне вполне логичным и очевидным. И все другие согласились с Зеноном.

— Однако, если согласиться с этим, то следует признать, что множество противоречиво, — неожиданно заявил Зенон, — что оно одновременно имеет величину и не имеет, что величина эта и конечна и бесконечна.

— Как так?! — удивились все, кроме Парменида, естественно.

— Если сущее множественно, то оно должно быть малым и большим: настолько малым, чтобы вовсе не иметь величины, и настолько большим, чтобы быть бесконечным. Если существует многое, то одно и то же будет ограниченным и беспредельным.

— Ничего не понимаем, — растерянно сказали все, кроме Парменида, конечно, да еще Каллипиги, которая, кажется, хотела сделать какое-то важное заявление.

— Если единица неделима, это значит, она не имеет величины, она есть то, от прибавления чего вещь не увеличивается и при отнятии не уменьшается. Тогда и единица никоим образом не может увеличить. Но если единица не имеет величины, то и множество как совокупность единиц не имеет величины. Более того, оно вообще не существует, ибо то, что не имеет величины, существовать не может.

— Вот и Георг Кантор… — начала было Каллипига, но ее хором перебили.

— А что, если основываться на понимании единиц множества как существующих раздельно? — спросили все.

Парменид-то, разумеется, молчал, лишь ехидно улыбался, да попивал капустный рассол.

— Если единицы отделены друг от друга, без чего нет и самого множества, — сказал Зенон, — то существует нечто, разделяющее их. Перед любой вещью всегда должно находиться что-нибудь вследствие бесконечной делимости. Но, в свою очередь, между единицей и этим разделяющим тоже имеется свое разделяющее. И между последним разделяющим и единицей будет свое разделяющее. И к лежащей перед ней вещи применимо опять то же самое рассуждение. Итак, то самое, что было сказано однажды, можно повторять до бесконечности. Ибо ни одна такая вещь не будет последней и никогда не будет вещи, у которой не было бы вышеуказанного отношения к другой вещи. Таким образом, если множество существует, то оно бесконечно.

— С ума можно сойти, — в ужасе сказали все, исключая Парменида.

А Каллипига снова завелась:

— Когда Георг Кантор в своей теории множеств…

Неужели и этот сидел у нее на коленях, тоскливо подумал я.

— И сколько у тебя, Зенон, еще таких доказательств? — спросил Сократ.

— Тридцать восемь, — с бесконечной точностью ответил тот.

Все призадумались. Парменид-то, впрочем, о капустном рассоле. Задумался и я. Не трудно было заметить, что противоречивость множества устанавливалась в аргументах Зенона как следствие противоречивости составляющих единиц. Что такое единица в понимании Зенона? С одной стороны, это неделимая часть множества, с другой — это то, что существует обособленно и своим существованием определяет существование множества. Но эти понятия несовместимы. Если единица неделима, она не имеет величины, если она существует как обособленное, она имеет величину! Поэтому Зенону и удается обосновать противоположности тезиса и антитезиса в своих антиномиях. Но в том и в другом случае разрушается само представление о единице. Не имея величины, она вообще не может существовать. Если же она имеет величину, то она может быть делима, но поэтому уже не является единицей. Следовательно, понятие единицы множества как существующей, но неделимой — предположение не только противоречивое, но и внутренне невозможное.

Не потому ли Пифагор не считал Единицу числом?