Солнечная система

Не слишком быстро вращающееся однородное тело принимает форму сжатого эллипсоида вращения (эллипсоида Маклорена). Его параметры — большая и малая полуоси — однозначно определяются массой и угловой скоростью вращения (рис.7). Если вращать быстрее, появляются трехосные эллипсоиды (эллипсоиды Якоби). Их открытие — а они появились как решение некоторой системы уравнений — повергло ученый мир в изумление. Интуиция ясно говорила, что однородное вращающееся тело должно быть телом вращения, каламбур воспринимался как тавтология! Ан нет! Вращение тела не обязано давать тела вращения! Потом были открыты еще более экзотические тела: вращающиеся на боку груши и даже тела с волнистой поверхностью. Правда, подобная экзотика существует только на бумаге (употребим старое выражение, как-то неловко звучит «на электронных носителях»). Реальные тела вертятся медленно, и для них выполнена теорема Ляпунова: фигура равновесия осесимметрична и обладает экватором, т.е. каждое меридиональное сечение одинаково, северное и южное полушария одинаковы. Даже скучновато немного. Но природа изощренна и сумела обойти ограничения Ляпунова в тесных двойных и полуразделенных системах, где нарушено условие изолированности.

Рис.7. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, «жидких» тел (сплошные линии) и сжимаемых, газовых тел (пунктир). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.

Небесные тела лунных и более размеров резко неоднородны: плотность в центре существенно превышает плотность у поверхности. Для Земли — на порядок, для Юпитера — на 4-5 порядков, для Солнца — на 7 порядков. Так что однородные фигуры равновесия служат лишь крайне упрощенными моделями. Но в случае медленного вращения форму поверхности можно представить аналогичным (7) рядом Ляпунова:

ƒ(φ)= R[ƒ₀(φ)+ƒ₁(φ)+ƒ₂(φ) +…]       (8)

Тут требуются пояснения. Форму поверхности вращения естественно задавать уравнением r=ƒ(φ), связывающим широту φ с расстоянием от поверхности до центра масс r функциональной зависимостью ƒ. Таков смысл левой части (8). В правой части R — характерный размер тела, например, радиус равновеликого шара. Тогда ƒ₀ тождественно равна единице, так что в нулевом приближении тело является шаром r=R — const. Остальные члены ряда дают малые поправки, причем ƒ_s пропорциональна q^s. Здесь q=ω²R³/(GM) представляет собой безразмерный малый параметр, равный отношению центробежной силы к силе тяготения на экваторе шара массы М и радиуса R. Для Земли, Юпитера, Солнца q равно соответственно 0,0034; 0,083; 0,00002. Наибольшим значением q=0,139 в Солнечной системе обладает Сатурн.

Функция ƒ₁ имеет вид ƒ₁(φ)= Aq(1—3sin²φ), где число А определяется распределением масс внутри тела Т. Для однородного тела А=5/12. Для противоположного крайнего случая сосредоточенной в центре массы, окруженной невесомой атмосферой, А=1/6. Остальные ƒ_s можно найти последовательно методом Ляпунова.

Функция ƒ, представляющая поверхность сжатого эллипсоида вращения Е, также может быть разложена в ряд (8), причем ƒ₀=1. ƒ₁=е²(1—3sin²(φ))/6, где е — эксцентриситет меридионального сечения. Подбирая его так, чтобы Aq=е²/6, добьемся совпадения Rƒ₀ и Rƒ₁ у Т и Е. Таким образом, любая фигура равновесия в нулевом приближении — шар, в первом — сжатый эллипсоид вращения.

Движение ИСЗ

Как рассчитывают трассы небесных тел в сложных гравитационных полях? Простых формул, подобных выведенным Кеплером и Ньютоном для описания движения частицы вокруг шара, для сложных полей не существует. Более того, за редчайшими исключениями вообще не существует абсолютно точных формул. Это следствие реальной сложности движений. Какими же средствами располагает современная наука? В самых общих чертах их можно разделить на две группы.

1. Аналитические методы. С их помощью сложное движение можно представить как наложение бесконечного числа простых движений. До предела упрощенный пример — знакомая по школьным учебникам формула суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии

1/x=1+(1-x)+(1-x)²+(1-x)³+…     (9)

Предположим, что марсиане умеют складывать, вычитать и умножать числа, представленные десятичными дробями, и знают, что есть и обратное умножению действие — деление, но делить не научились. Так вот, левую часть (9) марсиане смогут вычислить, складывая большое количество чисел из правой части, а каждое из них получается умножением (1—х) самого на себя. Уже на этом простейшем примере видны две особенности аналитического подхода.