Спящий БОГ 018

Декарт предпринял попытку упорядочить мир, заменив зрительные образы геометрии знаками, из которых можно строить формулы и вычислять геометрические истины, как в алгебре: если a = b; если b = c, то a = c.

Лейбниц ставит запредельно амбициозную задачу, на века опережающую его время — все знание разложить на знаки, с помощью которых не интуитивно ощущать истину, а высчитывать ее. По сути, он говорил о создании языка программирования. 

К концу XIX века физику стали понимать частью математики. Физика переводится как природа. Таким образом, математику стали понимать отражением природы, как бы ее чертежом. И если упорядочить математику, природа предстанет перед человеком в виде формул, с которыми можно оперировать, не выдумывая, а вычисляя истину.

В этом можно увидеть попытку ученых вырваться за границы опыта. Превратить науку из института наблюдений типа «что вижу, то и пою» в науку вычислений «не вижу, но знаю». В своей сути это была очень серьезная онтологическая заявка.

Гильберт высказывает мнение, что знания о мире можно так же систематизировать, как Евклид геометрию. Его геометрия на основе одних аксиом была не хуже и не лучше других геометрии (Лобачевского, Римана) построенных на основе других аксиом.

Оказалось, что геометрий много. Каждая верна относительно своих аксиом. Гильберт написал основы для всех геометрий, что воодушевило его на штурм новой высоты — дать основание арифметики, из чего будет следовать основание математики, и в итоге создать систему, объемлющую все знания. Если первой задачей в списке Гильберта была задача, связанная с бесконечностью, то второй шла задача по упорядочиванию арифметики. Он полагал, что, опираясь на непреложные истины, аксиомы, можно достигнут цели. 

Рассел и Уайтхед приступают к решению этой задачи — пробуют дать математике основание. Берут за основу несомненные и очевидные первичные аксиомы. На их основе доказывают следующие утверждения, а из тех следующие, и так далее. В итоге возникает монументальный труд из трех томов «Principia Mathematica» (Принципы математики).

Чтобы далекий от математики читатель (а таких большинство, включая меня) оценил титанические усилия авторов «Принципов», скажу, что примерно через три с половиной сотни странице авторы создали достаточную базу, чтобы доказательно сказать:1+1=2.

Наверное, тут у читателя должна отвиснуть челюсть, ибо сложно понять, какие такие титанические усилия нужны, чтобы доказать непротиворечивость утверждения, что 1+1=2? Многих это насторожит, ибо, кажется, что тут за версту пахнет софистикой.

То, что нам кажется предельно очевидным, на самом деле является запредельным и очень сложно усваиваемым, если вообще улавливаемым. Например, что такое единица? В бытовом представлении это одно яблоко. Но представьте, что вы смотрите на мир глазами нейтрино. Для вас исчезли все объекты, вы видите только пустоту. Вы утратили костыль в виде образов, и вам не на что опереться. И я снова к вам с вопросом: что такое единица? Если вы вошли в тему, то увидите, какая это чудовищная абстракция — числа.

Есть две математики. Первая связана с миром физических объектов — арифметика. Тут в роли доказательства выступает опыт. Одно яблоко + одно яблоко = два яблока. Но арифметика не может дать ответа, сколько будет одно яблоко + один ветер или одна коза. Опыт говорит, что будет одно яблоко и один ветер (и коза тоже отдельно будет).

Чтобы счет не зависел от реальных объектов, его нужно отделить от физического мира. Так возникает математика, ни к чему не привязанная дисциплина, оперирующая с абстракциями, с тем, чего не существует — с цифрами. И вот здесь, в отрыве от опыта, уже нужно доказать, что 1+1=2. Именно эту задачу ставил Гильберт, а Рассел с Уайтхедом ее решали. Они искали, как «и так понятно, что 1+1=2» строго доказать. 

И все бы хорошо, но пришла на математиков беда, откуда не ждали. В 1931 году 25-летний математик Гёдель публикует две теоремы, доказывающие, что невозможно создать аксиоматическую систему, из которой нельзя вывести противоречивые утверждения.

Этот юноша посещал лекции Гильберта, где тот рассказывал о перспективах, какие откроются человечеству, если удастся обосновать арифметику, потом математику, и от нее перекинуть систему на все человеческие знания. Гёдель показал, что это невозможно. 

Теорема о неполноте строго доказывает, что всякая достаточно полная система по своей природе противоречива, то есть содержит в себе утверждения, где одно белое, другое черное. Но при этом оба утверждения равно убедительно доказываются или ни одно не опровергается. Если же система не содержит в себе противоречий, она неполная.

Чтобы увидеть истину доказательства теоремы Гёделя, нужно знать математику. Я не математик, и потому мне проще понять суть теоремы не через алгебраические символы, а через «я лгу», которую Гёдель перевел в язык формул.