Статистика. Шпаргалка

28. Построение уравнения регрессии

Целью регрессионного анализа является установление формы зависимости между результативным и одним или несколькими факторными признаками. Для решения этой задачи определяется функция (уравнение) регрессии. В статистике под регрессией понимают величину, которая выражает зависимость среднего значения случайной величины у (результативного признака) от значений случайной величины х (факторного признака). Уравнение регрессии выражает среднюю величину одного признака как функцию другого.

Функция регрессии — это модель (уравнение) вида yx = f(x), выражающая зависимость переменной у от определяющего ее независимого фактора х.

При построении уравнения регрессии выбирают тип аналитической функции, характеризующей механизм взаимосвязи между результативным признаком и одним или несколькими признаками-факторами. В статистике применяют следующие типы аналитических функций:

1) у = а + bх — линейная;

2)  — гиперболическая;

3) у = а + bх+ сх2 — параболическая.

Множественная регрессия — регрессия между зависимой переменной у и независимыми переменными x1, x2, …, xn, т.е. это модель вида: у = f( x1, x2, …, xn ).   Парная регрессия — регрессия между зависимой переменной у и независимой переменной х, т.е. это модель вида: у = f(x).

Уравнения регрессии подбирают на основании эмпирической линии связи. Выбрав форму связи, находят числовые значения параметров уравнения регрессии. В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель по уравнению линейной регрессии: у = а + bх.

Параметры этого уравнения находят методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) — метод оценки параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции:

где уi — статические значения зависимой переменной;

f — теоретические значения зависимой переменной, рассчитанные с помощью уравнения регрессии.

Для нахождения минимума данной функции приравнивают к нулю ее частные производные и получают систему двух линейных уравнений:

Это система нормальных уравнений для линейной функции у = а+bх. Решение этой системы в общем виде дает параметры уравнения линейной регрессии:

29. Показатели тесноты связи. Линейный коэффициент корреляции

Линейный коэффициент корреляции —  количественная оценка и мера тесноты связи двух переменных, исчисляется он по следующей формуле:

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале -1 ≤  г  ≤ 1. Считают, что если этот коэффициент |r|≤ 0,3, то связь слабая; если он находится в интервале 0,3 ≤ |г| ≤ 0,7, то связь средняя; если |г|≥ 0,7, то связь сильная, или тесная. Когда коэффициент |r| = 1, то связь является функциональной, если он равен 0, то говорят об отсутствии линейной связи между признаками. Значение данного коэффициента оказывает большое влияние на исследования социально-экономических явлений. При малом числе наблюдений для практических вычислений линейный коэффициент корреляции удобно вычислять по формуле: