Страх физики. Сферический конь в вакууме

Глядя на это число, любой скажет, что оно очень велико, но насколько велико?

В экспоненциальной нотации используются степени числа 10. Запись 10ⁿ означает число, начинающееся с единицы, за которой следуют n нулей. Например, число 100 в экспоненциальной нотации записывается как 10², а запись 10⁶ представляет число, начинающееся с единицы, за которой следуют шесть нулей, то есть один миллион. Оценивая величину таких чисел, достаточно помнить, что, скажем, число 10⁶ содержит в своей записи на один ноль больше, чем число 10⁵, и, следовательно, оно больше него в 10 раз. Для очень маленьких чисел, таких как размер атома, выраженный в сантиметрах — около 0,000000001 см, — ученые используют отрицательные показатели степени. Запись 10^-n означает единицу, деленную на 10ⁿ, то есть число типа 0,000… 0001, где единица стоит на n-й позиции после запятой. Таким образом, одна десятая будет записана как 10^-1, а одна миллиардная — как 10^-9.

Любое произвольное числовое значение может быть записано как число в диапазоне от 1 до 10, умноженное на десять в какой-то степени. Число 100 записывается как 10², в то время как число 135 можно представить в виде произведения 1,35∙100 и в экспоненциальной нотации записать как 1,35∙10². Второй сомножитель в этой записи называется порядком числа, он дает нам представление о количестве цифр в обычной записи. Таким образом, числа 100 и 135 имеют один и тот же порядок. Первый сомножитель называется мантиссой — он говорит нам о том, где именно находится число в пределах указанного порядка, то есть является оно, например, числом 100 или числом 135.

Для физика порядок числа является наиболее важной характеристикой, поскольку он показывает масштаб явления, и экспоненциальная запись в этом отношении очень удобна, не говоря уже о том, что она просто короче. Гораздо легче воспринять число в форме 1,45962∙10¹³, чем 1 459 620 000 000 или «один триллион четыреста пятьдесят девять миллиардов шестьсот двадцать миллионов». Я рискну сделать еще более сильное утверждение: числа, представляющие физический мир, имеют смысл только тогда, когда они записаны в экспоненциальной форме.

Есть и другие несомненные преимущества экспоненциальной записи. В частности, она сильно упрощает манипуляции с числами. Например, вы хотите перемножить два числа, скажем, 100 и 100. Традиционная запись выглядит так: 100x100 = 10 000. В экспоненциальной форме нахождение произведения 100х100 сведется к следующей манипуляции: 10²х10² = 10⁽²⁺²⁾ = 10⁴ — фактически, мы заменяем умножение сложением. Аналогично и с операцией деления — вместо 1000:100 = 10 мы пишем: 10³:10² = 10^(3-2)= 10¹. Деление заменяется вычитанием. Эти простые правила оперирования со степенями десяти избавляют нас от необходимости постоянно считать количество знаков в перемножаемых числах, и единственное, для чего вам может понадобиться калькулятор, это для перемножения мантисс, то есть левых частей в экспоненциальной записи. Но поскольку мантиссы находятся в диапазоне от 1 до 10, то, помня таблицу умножения 10x10, вы всегда сможете сделать грубую прикидку результата в уме.

В мои задачи не входит научить вас искусству устного счета, вместо этого я расскажу, как производить численные оценки. Если упрощение картины мира предполагает приближенное ее описание, то экспоненциальная форма представления чисел лучше всего подходит для приблизительной оценки каких-то величин с точностью до порядка. Она позволяет быстро получить ответы на вопросы, которые при другом подходе были бы практически неразрешимыми. Грубые оценки помогают убедиться, что мы находимся на правильном пути. Они также позволяют сберечь время и силы, оберегая нас от выполнения ненужной работы. Одна известная байка рассказывает о некоем аспиранте, который потратил массу усилий, чтобы решить сложную систему уравнений, описывающую эволюцию Вселенной, чтобы получить в итоге один важный параметр. И на защите диссертации выяснилось, что этот же параметр получается за пару минут из общих соображений путем простой оценки.