Читаем Стрелы Времени (ЛП) полностью

Стрелы Времени (ЛП)

Скорость, о которой до сих пор шла речь, – это безразмерная величина, зависящая от наклона линии, описывающей историю светового импульса на пространственно-временной диаграмме. (На наших диаграммах временная ось вертикальна, а пространственная горизонтальна, поэтому скорость фактически обратна наклону). Домножив безразмерную скорость на 78, то есть скорость голубого света, выраженную в пропастях на паузу, мы получаем значения в традиционных единицах, приведенных в таблице.

Приложение 3. Умножение и деление векторов

Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом.

В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями).

Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a x b, вообще говоря, не совпадает с b x a.

Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v^-1, и удовлетворяющий следующему соотношению:

v x v^-1 = v^-1 x v = Будущее

Так, Восток^-1 = Запад, Север^-1 = Юг, Верх^-1 = Низ, а Будущее^-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.

Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v^-1 :

Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:

(v x w)^-1 = w^-1x v^-1

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

(v x w)^-1 x (w^-1x v^-1) = v x Будущееx v^-1 = Будущее

(w^-1x v^-1)x (v x w)^-1 = w^-1 x Будущееx w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / (v x w)= u x (v x w)^-1 = u x w^-1x v^-1= (u / w)/ v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее

Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D: