Структура реальности

Поскольку попытки Брауэра, Гильберта, Пенроуза и всех остальных решить сложную задачу Платона, видимо, потерпели неудачу, стоит снова взглянуть на мнимое ниспровержение Платоном идеи о том, что математическую истину можно получить с помощью научных методов.

Прежде всего, Платон говорит нам, что, поскольку мы имеем доступ только (скажем) к несовершенным кругам, значит, через них мы не сможем получить знание о совершенных кругах. А почему нет? Точно так же можно было бы сказать, что мы не можем открыть законы движения планет, потому что у нас нет доступа к реальным планетам, а есть доступ только к их изображениям. (Инквизиция это и говорила, и я объяснил, почему она ошибалась.) Также можно было бы сказать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Оглянувшись назад, можно увидеть, что такая критика вызвана очень грубым изображением принципа действия науки (подобным индуктивизму), который вряд ли можно считать удивительным, поскольку Платон жил до того, что мы могли бы признать как науку. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом, из собранных данных, попытаться сделать какой-то вывод об их абстрактных евклидовых двойниках, то Платон уловил суть. Но если мы создадим гипотезу, что реальные круги точно определенным образом похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы определенно можем узнать что-либо об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Евклида часто используют рисунки для точного определения геометрической задачи или ее решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит впечатление, вводящее в заблуждение, — например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происходит. Но, поняв отношение между реальными и совершенными кругами, можно аккуратно исключить все подобные ошибки. А не понимая этого отношения, практически невозможно понять геометрию Евклида.

Надежность знания о совершенном круге, которое можно получить из изображения круга, полностью зависит от точности гипотезы о том, что эти круги похожи должным образом. Такая гипотеза в отношении физического объекта (рисунка) эквивалентна физической теории, и ее невозможно знать определенно. Но этот факт (как утверждал Платон) не мешает изучению совершенных кругов из опыта; он делает невозможной определенность. Он не должен расстраивать никого, кто ищет не определенность, а объяснения.

Геометрию Евклида можно абстрактно сформулировать без рисунков. Но использование цифр, букв и математических символов в символическом доказательстве способно породить ничуть не большую определенность, чем рисунок по той же самой причине. Символы — это тоже физические объекты, — скажем, чернильные пятна на бумаге, — которые обозначают абстрактные объекты. И опять мы полностью полагаемся на гипотезу, что физическое поведение символов соответствует поведению обозначаемых ими абстракций. Следовательно, надежность того, что мы узнаем, манипулируя этими символами, полностью зависит от точности наших теорий об их физическом поведении и о поведении наших рук, глаз и т. д., с помощью которых мы манипулируем этими символами и наблюдаем за ними. Обманчивые чернила, из-за которых случайный символ изменил свой внешний вид, когда мы не видели этого, — возможно, под дистанционным управлением какого-то шутника, обладающего практической реализацией высоких технологий, — вскоре введут нас в заблуждение относительно того, что мы «определенно» знаем.

Теперь давайте повторно исследуем еще одно допущение Платона: допущение о том, что у нас нет доступа к совершенству физического мира. Возможно, он прав в том, что мы не найдем совершенной чести или справедливости, и он конечно прав в том, что мы не найдем законы физики или множество всех натуральных чисел. Но мы можем найти совершенную руку в бридже или совершенный ход в данной шахматной позиции. Это все равно, что сказать, что мы можем найти физические объекты или процессы, которые полностью обладают свойствами точно определенных абстракций. Мы можем научиться игре в шахматы как с помощью реальных шахмат, так и с помощью совершенной формы шахмат. Тот факт, что коня срубили, не делает мат, который является результатом этого, менее окончательным.