Структура реальности

Одно из сделанных Геделем допущений было традиционным: доказательство может иметь только конечное число этапов. Интуитивное доказательство этого допущения состоит в том, что мы конечные существа и никогда не смогли бы постичь буквально бесконечное число утверждений. Кстати, именно эта интуиция стала причиной беспокойства многих математиков, когда в 1976 году Кеннет Эппел и Вольфганг Хакен использовали компьютер для доказательства знаменитой «гипотезы четырех цветов» (о том, что, используя всего четыре разных цвета, любую карту, нарисованную на плоскости, можно раскрасить так, что никакие два примыкающих района не будут иметь одинаковый цвет). Программа требовала сотни часов машинного времени, что означало, что этапы доказательства, если оно было бы записано, не смог бы прочитать ни один человек за много жизней, не говоря уже о том, чтобы признать его самоочевидным. «Следует ли воспринимать слово компьютера как то, что гипотеза четырех цветов доказана?» — задавались вопросом скептики — хотя им и в голову никогда не приходило составить каталог всех импульсов всех нейронов своего собственного мозга при принятии относительно «простого» доказательства.

Такое же беспокойство может показаться более оправданным, будучи примененным к предполагаемому решению с бесконечным числом этапов. Но что такое «этап» и что такое «бесконечный»? В пятом веке до н. э. Зенон из Элеи на основе похожей интуиции пришел к выводу, Что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у черепахи будет преимущество на старте. Как-никак, к тому времени, когда Ахиллес поравняется с черепахой, она еще немножко продвинется вперед. К тому времени, когда он достигнет этой точки, она продвинется еще чуть-чуть и так до бесконечности. Таким образом, эта процедура «обгона» потребует от Ахиллеса выполнения бесконечного количества этапов обгона, которое он, будучи конечным существом, предположительно выполнить не сможет. Но то, что Ахиллес сможет сделать, невозможно обнаружить с помощью чистой логики. Это полностью зависит от того, что он сможет сделать в соответствии с управляющими законами физики. И если эти законы скажут, что он обгонит черепаху, то он ее обгонит. В соответствии с классической физикой обгон требует бесконечного количества этапов вида «переход на настоящее место нахождения черепахи». В этом смысле данное действие является вычислительно бесконечным. Точно так же, если рассматривать как доказательство то, что одна абстрактная величина становится больше другой при применении данного набора действий, то это доказательство с бесконечным количеством этапов. Однако соответствующие законы обозначают это доказательство как физически конечный процесс — и только это имеет значение.

Интуиция Геделя относительно этапов и конечности, насколько нам известно, действительно накладывает некоторые физические ограничения на процесс доказательства. Квантовая теория требует дискретных этапов, и ни один из известных способов взаимодействия физических объектов не позволил бы бесконечному количеству этапов превзойти измеримый вывод. (Однако, могло бы оказаться возможным, что за всю историю вселенной было бы выполнено бесконечное количество этапов — я объясню это в главе 14.) Классическая физика, даже будь она истинной (что исключено), не согласилась бы с такого рода интуицией. Например, непрерывное движение классических систем предусмотрело бы «аналогичное» вычисление, в котором было бы не слишком много этапов и которое обладало бы репертуаром, существенно отличающимся от машины Тьюринга. Известны некоторые примеры хитросплетенных классических законов, в соответствии с которыми бесконечный объем вычислений (бесконечный в соответствии с нормами машины Тьюринга или квантового компьютера) можно было бы выполнить с помощью физически конечных методов. Безусловно, классическая физика несовместима с результатами бесчисленных экспериментов, поэтому размышление о том, какими «были бы» «действительные» классические законы физики, носит весьма искусственный характер: однако эти примеры показывают, что никто не может доказать, независимо от знания физики, что доказательство должно состоять из конечного числа этапов. Эти же соображения применимы к интуиции о том, что должно быть конечное количество правил вывода и что они должны быть «применимы напрямую». Ни одно из этих требований не имеет смысла для абстрактного: это физические требования. Гильберт в своем влиятельном эссе On the Infinite[17] со знанием дела высмеял идею реальности требования «конечного количества ступеней». Однако вышеуказанный аргумент показывает, что он ошибался: это требование реально, и оно следует только из физической интуиции самого Гильберта и других математиков.