Тайны чисел: Математическая одиссея

Если вы внимательно рассмотрите бумеранг, то увидите, что каждое его плечо по форме напоминает крыло самолета, благодаря этому бумеранг поворачивает в сторону. Для возвращения бумеранга после броска вам нужно запустить его из вертикального положения таким образом (снова представьте самолет), чтобы правое крыло было наверху, а левое крыло внизу. Та же самая сила, которая приподнимает самолет, теперь будет толкать бумеранг влево.

Но у происходящего есть более тонкие моменты. Веди себя бумеранг как самолет, сила, действующая на плечи, просто повернула бы его влево и он бы не вернулся. Бумеранг возвращается назад оттого, что при запуске ему придается вращение, и благодаря гироскопическому эффекту сила, толкающая его влево, постоянно меняет направление. В результате бумеранг описывает дугу окружности.

Когда я бросаю бумеранг, его верхняя часть вращается вперед, а нижняя – назад. Верхняя часть подобна крылу самолета, быстрее движущемуся относительно воздуха, и более высокая скорость должна приводить к большей подъемной силе. Но, действуя на бумеранг, запущенный из вертикального положения, эта сила будет приводить к его крену, и верхняя часть будет наклоняться к горизонтальному положению.

Но здесь на сцену выходит гироскопический эффект. Когда вы ставите вращающийся гироскоп на подставку в вертикальном положении, он ведет себя подобно юле. Но, если вы наклоняете его так, что ось вращения образует некоторый угол с вертикалью, происходит то, что называется прецессией: ось вращения сама начинает вращаться. Именно это происходит с закрученным бумерангом. Его ось вращения – это воображаемая линия, проходящая через центр бумеранга, вращение данной оси приводит к тому, что бумеранг движется по дуге окружности.

Рис. 5.03. Геометрия сил и скоростей бумеранга. Сила F обусловлена подъемной силой, V – скорость, с которой движется центр бумеранга, R – радиус его траектории и W – скорость прецессии

Любой человек, бросавший бумеранг, знает, что не так-то просто заставить его вернуться назад. Вам требуется запустить его таким образом, чтобы скорость V, с которой он вылетает из вашей руки, и угловая скорость[17] S, характеризующая частоту его вращения, были связаны соотношением[18]:

a × S= √(2) V.

Здесь а – радиус бумеранга, расстояние от его кончика до оси симметрии. Закручивая сильнее вашу кисть при броске, вы можете увеличить S и добиться, чтобы соотношение выполнялось.

Рис. 5.04. Верхушка бумеранга A движется быстрее, чем его низ B, благодаря вращению

Угол наклона бумеранга зависит от разности скоростей вверху и внизу бумеранга. Верхушка движется со скоростью V + aS, в то время как низ перемещается медленнее, со скоростью V – aS, где угловая скорость S определяет частоту вращения бумеранга вокруг центра (см. рис. 5.04). Поэтому вы можете варьировать наклон бумеранга, изменяя скорости V и S, результатом чего будет изменение скорости прецессии бумеранга при его движении с линейной скоростью V. Если ваш бумеранг не хочет возвращаться назад, вам необходимо освоить кистевое движение, придающее ему правильную угловую скорость S по отношению к линейной скорости V. Соотношение выше поможет вам отладить бросок.

После того как вы освоили искусство броска с возвращением бумеранга, можно поставить вопрос, будет ли он двигаться по дуге большего радиуса, если запускать его с большей скоростью? Математические преобразования позволяют вывести уравнение, задающее радиус траектории бумеранга. И опять уравнение напоминает рецепт, в котором берутся различные ингредиенты, определяющие бумеранг и условия его полета. Эти ингредиенты смешиваются, и на выходе получается радиус. Вот список ингредиентов:

J, момент инерции бумеранга. Он характеризует то, насколько трудно закрутить бумеранг; чем тяжелее бумеранг, тем больше J. Момент инерции также зависит от формы бумеранга;

ρ, плотность воздуха, в котором летит бумеранг;

C_L, коэффициент подъемной силы, – число, определяющее подъемную силу, действующую на бумеранг. Зависит от его формы;

π, число 3,14159…;

а, радиус бумеранга.

Радиус траектории бумеранга R определяется перемешиванием данных ингредиентов по следующему рецепту: