Тайны чисел: Математическая одиссея

По существу, это другой способ написания уравнения, составленного Галилеем для мячей, падающих с Пизанской башни: g снова обозначает ускорение, обусловленное гравитацией. Причина написания знака приближенного равенства ≈ в противоположность знаку равенства = и моего предыдущего употребления слова «существенно» состоит в том, что данное выражение является хорошим приближением для периода колебаний. Пока размах колебаний не слишком большой, данной формулой можно пользоваться для предсказания поведения маятника. Но, если максимальный угол отклонения становится большим – например, маятник начинает движение почти из вертикального положения, – математика становится заметно сложнее. Теперь максимальный угол отклонения начинает оказывать влияние на период колебаний, чего Галилей не заметил, потому что люстра в кафедральном соборе не могла отклоняться настолько сильно. Мы также не наблюдаем данный эффект в напольных часах, потому что размах колебаний их маятника довольно мал.

Математика, необходимая для вывода уравнения, правильно предсказывающего поведение маятника с большим углом колебания, заметно выходит за пределы школьной программы. Ниже приведено начало этой формулы. На самом деле у нее бесконечное число слагаемых, которые вносят вклад в поведение маятника. θ₀ – это выраженный в радианах начальный угол, образуемый маятником с вертикалью.

Но это ничто по сравнению с задачей предсказания поведения слегка модифицированного маятника. Вместо одного жесткого стержня, раскачивающегося вправо-влево, представьте, что к нижней части первого маятника шарнирным образом прикреплен второй. Поэтому конструкция в целом несколько напоминает ногу, верхняя и нижняя части которой соединяются в колене. Предсказать поведение этого двойного маятника крайне трудно. И дело не в том, что уравнения становятся существенно сложнее, а в том, что их решения крайне непредсказуемы: результат может быть совсем другим при ничтожном изменении начального положения маятника. Двойной маятник служит ярким примером математического явления, называемого хаосом. Но двойной маятник – не просто забавная настольная игрушка. Математика, лежащая в основе его поведения, имеет важные последствия для ответа на вопрос, который может повлиять на будущее всего человечества.

Сайт http://bit.ly/Myphysicslab – один из многих, где представлена компьютерная модель двойного маятника.

Постарайтесь предсказать, каким будет следующий проход нижней части относительно верхней части маятника – по часовой стрелке или против часовой? Это почти невозможно.

Чтобы изготовить ваш собственный маятник, посетите http://bit.ly/DoublePendulum.

Не разлетится ли Солнечная система?

С того времени, как Галилей первым исследовал падающие шары и раскачивающиеся маятники, математики сформулировали сотни тысяч уравнений, которые предсказывают поведение природы. Эти уравнения образуют фундамент современной науки, они известны как законы природы. Математика наделила нас возможностью создать сложный технический мир современности. Инженеры опираются на уравнения для проверки того, что мосты не упадут, а самолеты полетят в воздухе. Из того, как развивался наш рассказ до сих пор, вы можете заключить, что предсказание будущего всегда будет легким. Отнюдь нет, настолько просто будет не всегда – как открыл французский математик Анри Пуанкаре.

В 1885 г. король Швеции и Норвегии Оскар II предложил премию в 2500 крон тому, кто сможет математически установить раз и навсегда, что либо Солнечная система и дальше будет вращаться как заведенная, либо в какой-то момент времени Земля может оторваться от Солнца и улететь в космос. Пуанкаре счел, что сумеет найти ответ, и начал исследование.

Один из классических приемов, используемых математиками, когда они начинают анализировать сложные задачи, состоит в упрощении изучаемой системы. Они надеются, что это облегчит нахождение решения задачи в целом. Вместо того чтобы исследовать все планеты Солнечной системы, Пуанкаре начал с рассмотрения задачи всего лишь двух тел. Исаак Ньютон уже доказал, что их орбиты будут стабильны: два тела будут двигаться по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, что будет вечно повторяться.

Рис. 5.05