Тайны чисел: Математическая одиссея

Когда лемминги становятся еще более плодовиты, их численность начинает флуктуировать странным образом. Если возрастание количества леммингов весной описывается множителем 3,5, численность леммингов осциллирует между четырьмя значениями, и эта закономерность повторяется каждые четыре года. (Точный множитель, при котором впервые появляются четыре значения, есть 1 + 6, что приблизительно равно 3,449.) В этом случае мы и обнаруживаем, что в одном сезоне из четырех происходит существенное падение количества леммингов, но не в силу решения совместно покончить с жизнью, а из-за математики.

Рис. 5.11. Когда количество леммингов весной возрастает в 3,5 раза, их численность осциллирует между четырьмя различными значениями

Но по-настоящему интересное изменение динамики численности леммингов происходит, когда увеличение их количества весной описывается множителем, превышающим 3,5699. Тогда их численность от года к году меняется скачками без видимого ритма и причины. Хотя уравнение, определяющее численность леммингов, довольно простое, оно начало выдавать хаотические результаты. Измените исходное количество леммингов, и динамика их численности будет совсем другой. После того как превзойден порог начала хаоса 3,5699, почти невозможно предсказать, как будет варьироваться численность. Мы видим, что уравнение, контролирующее численность леммингов, сначала приводило к совершенно предсказуемым результатам, но с небольшим увеличением плодовитости леммингов внезапно разразился хаос.

Рис. 5.12. Когда увеличение количества леммингов весной описывается множителем 3,5699 или более, изменение их численности становится хаотическим

Правила игры в рыбьи формулы

Это игра для двух участников. Загрузите PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел» и вырежьте десять рыб и аквариум. В игре исследуется то, как количество рыб меняется на протяжении десяти сезонов. Каждая из вырезанных рыб соответствует одному сезону, и на ее боку имеется пустое поле, куда вы можете вписать число рыб в аквариуме в этом сезоне. В условиях аквариума поддерживается жизнь не более чем 12 рыб. Рыба, дожившая до следующего года, приносит потомство, а потом с определенной вероятностью умирает.

Подкиньте две игральные кости. Число рыб, исходно имеющихся в аквариуме, равно сумме выпавших очков минус один (поэтому данное число лежит в диапазоне от 1 до 11). Назовем это число N₀. Первый игрок выбирает число K от 1 до 50. С его помощью определяется количество потомков у каждой рыбы. Если первоначально имелось N₀ рыб, то в первом году вследствие появления потомства их становится (K/10) × N₀. То есть количество рыб умножается на K/10, этот множитель лежит в интервале от 0,1 до 5.

Не все рыбы доживают до следующего года. Если в конце предыдущего года было N рыб, то к концу следующего их будет