Тайны чисел: Математическая одиссея

Французский вратарь Фабьен Бартез выстроил оборонительную стенку, хотя он и не думал всерьез, что Карлос намеревается послать мяч непосредственно в его ворота. И действительно, когда Карлос разбежался и нанес удар, казалось, что мяч пролетит далеко от цели. Зрители в стороне от ворот начали нагибаться, ожидая, что мяч попадет в толпу. Неожиданно, в последние мгновения, мяч свернул влево и залетел в сетку французских ворот. Бартез не мог поверить своим глазам. Он не шевельнулся. «Как ему такое удалось?» – казалось, думал он.

Но удар Карлоса отнюдь не противоречил законам физики, при его исполнении была учтена наука движущихся футбольных мячей. Эффект вращения может приводить к самому невероятному поведению предметов. Если вы ударите по мячу, не придавая ему вращения, то он в своем движении как бы прочертит параболу на фиксированном двумерном листе бумаги. Но, если вы закрутите мяч, неожиданно геометрия его движения становится трехмерной. Он не только будет подниматься и опускаться, но и отклоняться влево или вправо.

Но что же толкает мяч, летящий в воздухе, влево или вправо? Возникающая сила обусловлена эффектом Магнуса, названным в честь немецкого физика Генриха Магнуса, который в 1852 г. первым объяснил воздействие вращения на мячи. (Немцы всегда были хороши в футболе.) Эффект схож с появлением силы, действующей на самолетное крыло. Как я объяснил на с. 254, разность скоростей потока воздуха над и под крылом приводит к уменьшению давления над крылом и его повышению под ним, вследствие чего возникает сила, толкающая крыло вверх.

Для отклонения мяча в полете влево Карлос нанес такой удар, чтобы левая сторона вращалась к нему (ось вращения вертикальна и проходит через центр мяча). Закрученность мяча затем, по существу, приводила к тому, что воздух быстрее обтекал мяч слева, уменьшая давление, – то же самое происходит над самолетным крылом. Давление на другой стороне мяча, напротив, возросло, потому что скорость воздуха там была меньше, ведь та сторона закручивалась навстречу потоку воздуха. Результатом увеличенного давления справа была сила, толкавшая мяч влево, которая в конечном счете и занесла мяч в сетку ворот.

Тот же принцип используется для того, чтобы заставить мяч для гольфа лететь дальше, чем предсказывается уравнениями, сформулированными Галилеем. Но на сей раз ось вращения горизонтальна и перпендикулярна скорости мяча. Когда клюшка наносит удар по мячу, лежащему на колышке, его нижняя часть закручивается в направлении полета. Это снижает скорость обтекающего воздуха и в силу эффекта Бернулли увеличивает давление под мячом. Так и создается направленная вверх сила, противодействующая гравитации, словно обусловленная вращением рука помощи подхватывает мяч и несет как можно дальше.

Но мы еще не включили в наше рассмотрение один ингредиент: сопротивление воздуха. Именно оно позволяет объяснить, почему мяч, запущенный Карлосом, отклонился влево настолько поздно. Как и в случае подъемов и спадов численности леммингов, секрет волшебного трюка Карлоса связан с переходом от хаотического поведения к регулярному. Поток воздуха за мячом может быть либо хаотическим, либо регулярным. Хаотический поток воздуха называется турбулентным. Он возникает, когда мяч движется очень быстро. Регулярный поток воздуха называется ламинарным, он реализуется при меньших скоростях. Переключение с одного вида потока на другой зависит от типа мяча.

Вы можете сами довольно легко увидеть эти виды воздушных потоков, реализующиеся при разных скоростях. Идите спокойно по прямой линии, держа в руках флаг (или полосу ткани) так, чтобы он находился за вами, и посмотрите, как он колышется. Теперь сделайте то же самое со значительно большей скоростью. Вы можете либо высунуть флаг за окно машины, либо бежать с максимальной скоростью навстречу ветру. Теперь флаг будет сильно биться из стороны в сторону. Причиной изменения является то, что воздух, обтекающий какой-либо предмет, например флаг, ведет себя по-разному при разных скоростях. При малых скоростях поток воздуха легко предсказуем, но при больших скоростях он становится заметно хаотичнее.

Но как влияет на летящий футбольный мяч переключение с турбулентного обтекания на ламинарное? Оказывается, что в турбулентном случае воздух оказывает меньшее сопротивление футбольному мячу. Поэтому, когда мяч движется быстро, его вращение не оказывает существенного влияния на изменение его скорости, словно эффект Магнуса уменьшен на этом участке траектории. Но, когда мяч замедляется и проходит точку переключения, турбулентное обтекание уступает место ламинарному, приводящему к значительно большему сопротивлению[20]. При этом переходе сопротивление воздуха возрастает на 150 %. Теперь начинает сильнее сказываться и вращение мяча, неожиданно мяч более заметно отклоняется в сторону. Дополнительное сопротивление также увеличивает подъемную силу, приводя к усилению эффекта Магнуса, и мяч все заметнее толкается в сторону.