Тени разума. В поисках науки о сознании

Существуют ли Π₁-высказывания, которые робот должен полагать неопровержимыми следствиями из гипотезы M и которые при этом не являются самыми обыкновенными ☆-утверждениями, вовсе не требующими привлечения этой гипотезы? Разумеется, существуют. Как было отмечено в конце §3.14, истинность Π₁-высказывания G(Q(M)) следует из обоснованности формальной системы Q(M), отсюда же следует и тот факт, что утверждение G(Q(M)) не является теоремой системы Q(M). Более того, в этом робот будет совершенно безоговорочно убежден. Если допустить, что робот вполне согласен с тем, что все его неопровержимые убеждения укладывались бы в рамки системы Q(M), будь он действительно сконструирован в соответствии с набором механизмов M, — т.е. что возможность (b)[25] он из рассмотрения исключает, — то получается, что наш робот и в самом деле должен твердо верить в то, что обоснованность системы Q(M) является следствием гипотезы M. Таким образом, робот оказывается безоговорочно убежден как в том, что Π₁-высказывание G(Q(M)) следует из гипотезы M, так и в том, что (согласно M) он не способен непосредственно постичь его неопровержимую истинность без привлечения M (поскольку формальной системе Q(M) оно не принадлежит). Соответственно, утверждение G(Q(M)) является ☆_M-утверждением, но не ☆-утверждением.

Предположим, что формальная система Q_M(M) построена в точности так же, как и система Q(M), с той лишь разницей, что роль, которую при построении системы Q(M) исполняли ☆-утверждения, сейчас берут на себя ☆_M-утверждения. Иначе говоря, теоремами системы Q_M(M) являются либо (I) сами ☆_M-утверждения, либо (II) положения, выводимые из этих ☆_M-утверждений с применением правил элементарной логики (см. §3.13). Точно так же, как робот на основании гипотезы M согласен с тем, что формальная система Q(M) охватывает все его неопровержимые убеждения относительно истинности III -высказываний, он будет согласен и с тем, что формальная система Q_M(M) охватывает все его неопровержимые убеждения относительно истинности Π₁-высказываний, обусловленных гипотезой M.

Далее предложим роботу рассмотреть гёделевское Π₁-высказывание G(Q_M(M)). Робот, несомненно, проникнется неопровержимым убеждением в том, что это Π₁-высказывание является следствием из обоснованности системы Q_M(M). Он также вполне безоговорочно поверит в то, что обоснованность системы Q_M(M) является следствием гипотезы M, поскольку он согласен с тем, что система Q_M(M) действительно содержит в себе все, в чем робот неопровержимо убежден в отношении своей способности выводить Π₁-высказывания, основываясь на гипотезе M. (Он будет рассуждать следующим образом: «Если я принимаю гипотезу M, то я тем самым принимаю и все Π₁-высказывания, которые порождают систему Q_M(M). Таким образом, я должен согласиться с тем, что система Q_M(M) является обоснованной на основании гипотезы M. Следовательно, на основании все той же гипотезы, я должен признать и то, что утверждение G(Q_M(M)) истинно».)

Однако, поверив (безоговорочно) в то, что гёделевское Π₁-высказывание G(Q_M(M)) является следствием гипотезы M, робот вынужден будет поверить и в то, что утверждение G(Q_M(M)) является теоремой формальной системы Q_M(M). А в это он сможет поверить только в том случае, если он полагает систему Q_M(M) необоснованной, — что решительно противоречит принятию им гипотезы M.

В некоторых из вышеприведенных рассуждений неявно допускалось, что неопровержимая убежденность робота является действительно обоснованной, — хотя необходимо лишь, чтобы сам робот просто верил в обоснованность своей системы убеждений. Впрочем, мы изначально предполагаем, что наш робот обладает математическим пониманием, по крайней мере, на человеческом уровне, а человеческое математическое понимание, как было показано в §3.4, принципиально является обоснованным.

Возможно, кто-то усмотрит в формулировке допущения M, равно как и в определении ☆_M-утверждения, некоторую неоднозначность. Смею вас уверить, что подобное утверждение, будучи Π₁-высказыванием, представляет собой в высшей степени определенное математическое утверждение. Можно предположить, что большинство ☆_M-утверждений робота окажутся в действительности самыми обыкновенными ☆-утверждениями, поскольку маловероятно, что робот при каких угодно обстоятельствах сочтет целесообразным прибегать в своих рассуждениях к самой гипотезе M. Исключением может стать утверждение G(Q(M)), о котором говорилось выше, так как в данном случае формальная система Q(M) выступает, с точки зрения робота, в роли гёделевской гипотетической «машины для доказательства теорем» (см. §§3.1 и 3.3). Вооружившись гипотезой M, робот получает доступ к своей собственной «машине для доказательства теорем», и, хотя он не может быть (да и, скорее всего, не будет) безоговорочно убежден в обоснованности своей «машины», робот способен предположить, что она может оказаться обоснованной, и попытаться вывести следствия уже из этого предположения.