Тени разума. В поисках науки о сознании

Корням x = α₁, α₂, α₃, …, α_n полинома p(x) = 0 соответствуют n точек на сфере Римана, определяющие описание Майораны. Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем x = ∞, — южный полюс сферы, — это происходит, когда степень полинома P(x) оказывается меньше n на величину, определяемую кратностью этой точки.

Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену

x ↦ (λx - μ)(λ'x + μ')^—1

(где λλ' + μμ' = 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на (μ'x + λ')ⁿ. Таким образом, можно получить полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна—Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида

c(λx - μ)^p(λ'x + μ')ⁿ - p.

Точки, задаваемые отношениями μ/λ и —μ'/λ', являются антиподальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний |↑↑↑…↑〉, |↓↑↑…↑〉, |↓↓↑…↑〉, …, |↓↓↓…↓〉. Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [301], с. 162 и §4.15. Общее состояние спина 1/2 n описывается там через симметрический n-валентный спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)

Для любой точки α на сфере Римана антиподальной является точка —1/α'. Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома

a(x) ≡ a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … + a_n - 1xⁿ - 1 + a_nxⁿ,

относительно центра сферы, то мы получим корни полинома

a*(x) ≡ a'_n - a'_n - 1x + a'_n - 2x² - … - (—1)ⁿa'₁xⁿ-1 + (—1)ⁿa'₀xⁿ.

Пусть состояния |α〉 и |β〉 заданы, соответственно, полиномами a(x) и b(x), где

b(x) ≡ b₀ + b₁x + b₂x² + b₃x³ + … + b_n - 1xⁿ - 1 + b_nxⁿ;

тогда их скалярное произведение имеет вид

〈β|α〉 = b'₀a₀ + (1/n)b'₁a₁ + (2!/n(n - 1))b'₂a₂ + (3!/n(n - 1)(n - 2))b'₃a₃ + … + b'_na_n.

Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.

Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b(x) = a*(x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)

a₀a_n - (1/n)a₁a_n - 1 + (2!/n(n -1))a₂a_n - 2 - … - (—1)ⁿ(1/n)a_{n - 1}a₁ + (—1)ⁿa_na₀.

Нетрудно заметить, что при отрицательном n все члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, P, Q, …, S, обозначается через |PQ…S〉; точка, антиподальная X, обозначается X*):

C.1 Если n нечетно, то состояние |PQR…T〉 ортогонально состоянию |P*Q*R*…T*〉.

Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:

C.2 Состояние |PPP…P〉 ортогонально любому из состояний |P*AB…D).

C.3 Состояние |QPP…P〉 ортогонально состоянию |ABC…E〉 в тех случаях, когда стереографическая проекция (из P*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из P*) точек A, B, C, …, E.

(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10, рис. 5.19.) Для доказательства C.3 развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P〉 соответствует полином x^{n - 1}(x - χ), где χ определяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом (x - α₁)(x - α₂)(x - α₃)…(x - α_n), майораново описание которого составляют корни α₁, α₂, α₃, …, α_n, находим, что это произведение обращается в нуль, когда

1 + n^—1χ'(α₁ + α₂ + α₃ + … + α_n) = 0,

т.е. когда —1/χ' равно (α₁ + α₂ + α₃ + … + α_n)/n, иначе говоря, когда точка —1/χ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек α₁, α₂, α₃, …, α_n. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P〉 соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда