Тени разума. В поисках науки о сознании

Теперь необходимо убедиться, что при таких примитивных «кнопочных» измерениях действительно выполняются гарантируемые «Квинтэссенциальными Товарами» свойства (а) и (б). В Приложении C приведены некоторые математические подробности предложенного Майораной описания спиновых состоянии (в частности, для спина 3/2), вполне достаточные для какого угодно доказательства. Для упрощения рассуждений представим себе, что сфера Римана проходит через все вершины рассматриваемого додекаэдра, т.е. описывает додекаэдр. Отметим далее, что в описании Майораны ДА-состояние для нажатия кнопки в некоторой вершине P додекаэдра включает в себя дважды саму точку P, а также точку P*, антиподальную P, — что и в самом деле соответствует состоянию |R↓↑↑〉, если точка P находится на северном полюсе додекаэдра. Иначе говоря, это ДА-состояние мы можем обозначить через |P*PP〉.

Ключевым свойством спина 3/2 является то, что ДА-состояния для примитивных измерений, соответствующих нажатиям на кнопки при двух «следующих соседних» вершинах, ортогональны. В чем тут причина? Покажем, что майорановы состояния |A*AA〉 и |C*CC〉 действительно ортогональны для любых следующих соседних вершин A и C додекаэдра. Как видно из рис. 5.28, следующими соседними являются вершины додекаэдра, совпадающие с соседними вершинами куба, вписанного в додекаэдр и имеющего с ним общие центр и восемь вершин. Согласно Приложению C, состояния |A*AA〉 и |C*CC〉 ортогональны, если вершины A и C являются соседними вершинами куба, так что свойство можно считать доказанным.

Рис. 5.28. Внутрь правильного додекаэдра можно поместить куб, который будет иметь общие с додекаэдром центр и восемь (из двадцати) вершин. Отметим, что соседние вершины куба являются следующими соседними вершинами додекаэдра.

О чем это нам говорит? В частности, о том, что нажатия кнопок при трех вершинах додекаэдра, соседних с ВЫБРАННОЙ вершиной представляют собой коммутирующие измерения (§5.14), поскольку по отношению друг к другу эти вершины являются следующими соседними. Таким образом, порядок, в котором я буду на них нажимать, никак не повлияет на исход дела. Не имеет никакого значения и то, в каком порядке будет нажимать на кнопки своего додекаэдра мой коллега на альфе Центавра. Если его ВЫБРАННОЙ вершиной является вершина, противоположная моей, то противоположны моим и три коммутирующие кнопки его додекаэдра. Согласно всему вышесказанному, мой и его звонки должны зазвенеть при нажатии нами на противоположные кнопки независимо оттого, в каком порядке каждый из нас нажимает на кнопки своего додекаэдра, — либо ни мой, ни его звонок не зазвенит вообще. Свойство (а) доказано.

Перейдем к свойству (б). Отметим, что гильбертово пространство для спина 3/2 четырехмерно, так что три взаимно ортогональных возможных нажатия, при которых звонок мог бы зазвенеть — скажем, те, которым соответствуют состояния |A*AA〉, |C*CC〉 и |G*GG〉 (в качестве ВЫБРАННОЙ возьмем вершину B), — не вполне исчерпывают всех возможных альтернативных исходов. Остается еще вариант, когда не «звенит» ни одна их этих кнопок, в результате чего мы имеем нулевое измерение (все три кнопки были нажаты, а звонок не прозвенел), т.е. перед нами еще одно состояние (уникальное), ортогональное остальным трем (|A*AA〉, |C*CC〉, |G*GG〉). Обозначим это состояние через |RST〉, где R, S и T — точки на сфере Римана, необходимые для описания состояния по Майоране. Установить действительное расположение этих трех точек — задача далеко не тривиальная (но вполне решаемая, см. [395]). Впрочем, в настоящий момент нам абсолютно неважно, где именно они располагаются. Достаточно знать, что они где-то на сфере Римана и что их расположение определяется геометрией додекаэдра относительно ВЫБРАННОЙ вершины В. Так, в частности (благодаря симметричности додекаэдра), возьми я в качестве ВЫБРАННОЙ вместо B антиподальную ей вершину B*, тогда результатом отсутствия звонка при нажатии всех кнопок при соседних с B* вершинах A*, C* и G* стало бы состояние |R*S*T*〉, где R*, S* и T* — точки, антиподальные точкам R, S и T.

Рис. 5.29. Обозначение вершин додекаэдра, используемое в §5.18 и Приложении B