Тени разума. В поисках науки о сознании

В отличие от отдельного единичного вектора состояния, матрицу плотности можно рассматривать как представление комбинации вероятностей нескольких возможных альтернативных векторов состояния. Говоря о «комбинации вероятностей», мы подразумеваем лишь, что существует некоторая неопределенность в отношении действительного состояния системы, при этом каждому из возможных альтернативных векторов состояния поставлена в соответствие некоторая вероятность — самая обычная классическая вероятность, выраженная самым обычным вещественным числом. Однако матрица плотности вносит в это описание некоторую путаницу (заложенную изначально), поскольку не отличает классические вероятности, фигурирующие в вышеупомянутой взвешенной вероятностной комбинации, от вероятностей квантовомеханических, возникающих в результате процедуры R. Дело в том, что операционными методами различить эти вероятности невозможно, поэтому в операционном же смысле вполне уместным представляется математическое описание (матрица плотности), которое такого различия не делает.

Как выглядит это математическое описание? Я не стану углубляться в ненужные здесь подробности, лишь вкратце изложу основные концепции. Идея матрицы плотности, вообще говоря, весьма изящна[43]. Начать с того, что вместо каждого отдельного состояния |ψ〉 мы используем объект вида

|ψ〉〈ψ|.

Что означает такая запись? Не прибегая к точному математическому определению, которое для нас сейчас несущественно, можно сказать, что это выражение представляет собой особого рода «произведение» (точнее, вид тензорного произведения, см. §5.15) вектора состояния |ψ〉 и «комплексно сопряженного» ему вектора 〈ψ|. Вектор состояния |ψ〉 мы полагаем нормированным (т.е. 〈ψ|ψ〉 = 1); тогда выражение |ψ〉〈ψ| однозначно определяется физическим состоянием, представленным вектором |ψ〉 (поскольку не зависит от изменений фазового множителя |ψ〉 ↣ e^iθ|ψ〉, см. §5.10). В системе обозначений Дирака исходный вектор |ψ〉 называется «кет»-вектором, а соответствующий ему 〈ψ| — «бра»-вектором. Бра-вектор 〈ψ| и кет-вектор |φ〉 могут образовывать и скалярное произведение («bra-ket»[44]):

〈ψ|φ〉,

с таким обозначением мы уже встречались в §5.12. Значением скалярного произведения является самое обычное комплексное число, тогда как тензорное произведение |ψ〉〈φ| в матрице плотности дает более сложный математический «объект» — элемент некоторого векторного пространства.

Перейти от непонятного «объекта» к обычному комплексному числу позволяет особая математическая операция, называемая вычислением следа (или суммы элементов главной диагонали) матрицы. Для простого выражения |ψ〉〈φ| эта операция сводится к простой перестановке членов, дающей в результате скалярное произведение:

СЛЕД(|ψ〉〈φ|) = 〈φ|ψ〉.

В случае суммы членов «след» вычисляется линейно: например,

СЛЕД (z|ψ〉〈φ| + w|α〉〈β|) = z〈φ|ψ〉 + w〈β|α〉.

Я не стану в подробностях выводить все математические свойства таких объектов, как 〈ψ| и |ψ〉〈φ|, однако кое о чем упомянуть стоит. Во-первых, произведение |ψ〉〈φ| подчиняется тем же алгебраическим правилам, что перечислены в §5.15 для произведения |ψ〉|φ〉 (за исключением последнего, которое к данному случаю неприменимо):

(z|ψ〉)〈φ| = z(|ψ〉〈φ|) = |ψ〉(z〈φ|),

(|ψ〉 + |χ〉)〈φ| = |ψ〉〈φ| + |χ〉〈φ|,

|ψ〉(〈φ| + 〈χ|) = |ψ〉〈φ| + |ψ〉〈χ|.

Следует также отметить, что бра-вектор z'〈ψ| является комплексным сопряженным кет-вектора z|ψ〉 (поскольку число z' есть комплексное сопряженное комплексного числа z, см. §5.8), а сумма 〈ψ| + 〈χ| — комплексным сопряженным суммы |ψ〉 + |χ〉.

Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, представляющую некоторую комбинацию вероятностей нормированных состояний, скажем, |α〉 и |β〉; вероятности, соответственно, равны a и b. Правильная матрица плотности в данном случае будет иметь вид

D = a|α〉〈α| + b|β〉〈β|.

Для трех нормированных состояний |α〉, |β〉, |γ〉 с соответствующими вероятностями a, b, c имеем

D = a|α〉〈α| + b|β〉〈β| + c|γ〉〈γ|,

и так далее. Из того, что вероятности всех альтернативных вариантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное свойство, справедливое для любой матрицы плотности:

СЛЕД(D) = 1.

Как же использовать матрицу плотности для вычисления вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала простой случай примитивного измерения. Спросим, находится ли система в физическом состоянии |ψ〉 (ДА) или в ином состоянии, ортогональном |ψ〉 (НЕТ). Само измерение представляет собой математический объект (так называемый проектор), очень похожий на матрицу плотности:

E = |ψ〉〈ψ|.

Вероятность p получения ответа ДА определяется из выражения

p = СЛЕД(DE),