Тени разума. В поисках науки о сознании

где произведение DE само представляет собой объект, подобный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью несложных алгебраических правил, необходимо лишь соблюдать порядок «умножений». Например, для вышеприведенной двучленной суммы D = a|α〉〈α| + b|β〉〈β| имеем

DE = (a|α〉〈α| + b|β〉〈β|)|ψ〉〈ψ| = a|α〉〈α|ψ〉〈ψ| + b|β〉〈β|ψ〉〈ψ| = (a〈α|ψ〉)|α〉〈ψ| + (b〈β|ψ〉)|β〉〈ψ|.

Члены 〈α|ψ〉 и 〈β|ψ〉 могут «коммутировать» с другими выражениями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких «объектов», как |α〉 и 〈ψ| необходимо тщательно соблюдать. Далее получаем (учитывая, что zz' = |z²|, см. §5.8)

СЛЕД(DE) = (a〈α|ψ〉)〈ψ|α〉 + (b〈β|ψ〉)〈ψ|β〉 = a|〈α|ψ〉|² + b|〈β|ψ〉|².

Напомню (см. §5.13), что величины |〈α|ψ〉|² и |〈β|ψ〉|² представляют собой квантовые вероятности соответствующих конечных состояний |α〉 и |β〉, тогда как a и b суть классические вклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном выражении квантовые и классические вероятности оказываются смешаны.

В случае более общего измерения типа «да/нет» рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора «£» используется проектор более общего вида

E = |ψ〉〈ψ| + |φ〉〈φ| + … + |χ〉〈χ|,

где |ψ〉, |φ〉, …, |χ〉 — взаимно ортогональные нормированные состояния, заполняющие пространство ДА-состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством

E² = E.

Вероятность получения ответа ДА при измерении, определяемом проектором E, системы с матрицей плотности D равна следу (DE) — в точности, как и в предыдущем примере.

Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.

Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение классических и квантовых вероятностей в матрице плотности. Допустим, например, что у нас имеется частица со спином 1/2, и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (нормированном) она в данный момент пребывает — |↑〉 или |↓〉. Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний равны 1/2 и 1/2, построим матрицу плотности

D = 1/2 |↑〉〈↑| + 1/2 |↓〉〈↓|.

Простое вычисление показывает, что в точности такая же матрица плотности D получается в случае комбинации равных вероятностей (1/2 и 1/2) любых других ортогональных возможностей — скажем, состояний (нормированных) |→〉 и |←〉, где |→〉 = (|↑〉 + |↓〉)/√2 = (|↑〉 - |↓〉)/√2:

D = 1/2 |→〉〈→| + 1/2 |←〉〈←|.

Допустим, мы решили измерять спин частицы в направлении «вверх», т.е. соответствующий проектор имеет вид

E = |↑〉〈↓|.

Тогда для вероятности получения ответа ДА, согласно первому описанию, находим

СЛЕД(DE) = 1/2 |〈↑|↑〉|² + 1/2 |〈↓|↑〉|² = 1/2 × 1² + 1/2 × 0² = 1/2,

где мы полагаем 〈↑|↑〉 = 1 и 〈↓|↑〉 = 0 (поскольку состояния нормированы и ортогональны). Согласно второму описанию, находим

СЛЕД(DE) = 1/2 |〈→|↑〉|² + 1/2 |〈←|↑〉|² = 1/2 × (1/√2)² + 1/2 × (1/√2)² = 1/4 + 1/4 = 1/2;

правое |→〉 и левое |←〉 состояния здесь не являются ни ортогональными, ни параллельными измеряемому состоянию |↑〉, т.е. на деле |〈→|↑〉| = |〈←|↑〉| = 1/√2.