Тени разума. В поисках науки о сознании

Кроме того, концепция (весьма ограниченная, надо сказать) математической истины, необходимая мне для доказательства Гёделя—Тьюринга, определена, вообще говоря, не менее четко, нежели концепции ИСТИННОГО, ЛОЖНОГО и НЕРАЗРЕШИМОГО для любой формальной системы F. Из сказанного выше (§2.9) нам известно, что существует некий алгоритм F, эквивалентный системе F. Если алгоритму F предстоит обработать некое предположение P (формулируемое на языке системы F), то выполнение этого алгоритма может быть успешно завершено только в том случае, если предположение P доказуемо в соответствии с правилами системы F, т.е. когда предположение P ИСТИННО. Соответственно, предположение P является ЛОЖНЫМ, если алгоритм F успешно завершается при обработке предположения ~ P, и НЕРАЗРЕШИМЫМ, если не завершается ни одно из упомянутых вычислений. Вопрос о том, является ли математическое утверждение P ИСТИННЫМ, ЛОЖНЫМ или НЕРАЗРЕШИМЫМ, в точности совпадает по своей природе с вопросом о реальной истинности утверждений о завершаемости или незавершаемости вычислений — иными словами, о ложности или истинности определенных Π₁-высказываний — а кроме этого для нашего «гёделевско—тьюринговского» доказательства ничего и не требуется.

Q11. Существуют определенные Π₁-высказывания, которые можно доказать с помощью теории бесконечных множеств, однако не известно ни одного доказательства, которое использовало бы стандартные «конечные» методы. Не означает ли это, что даже к таким четко определенным проблемам математики, на деле, подходят субъективно? Различные математики, придерживающиеся в отношении теории множеств разных убеждений, могут применять к оценке математической истинности Π₁-высказываний неэквивалентные критерии.

Этот момент может оказаться существенным в том, что касается моих собственных выводов из доказательства Гёделя(—Тьюринга), и я, возможно, уделил ему недостаточно много внимания в кратком изложении, представленном в НРК. Как ни странно, но возражение Q11, похоже, никого, кроме меня, не обеспокоило — по крайней мере, никто мне на него не указал! В НРК (с. 417, 418), как и здесь, я сформулировал доказательство Гёделя(—Тьюринга) исходя из того, что посредством разума и понимания способны установить все «математики» или «математическое сообщество». Преимущество подобной формулировки, в отличие от рассмотрения вопроса о способности какого-либо конкретного индивидуума к установлению математических истин посредством своего разума и понимания, заключается в том, что первый способ позволяет избежать некоторых возражений, которые нередко выдвигают в отношении той версии доказательства Гёделя, которую предложил Лукас (1961). Самые разные ученые^{31} указывали, к примеру, на то, что «сам Лукас» никак не мог обладать знанием о своем собственном алгоритме. (Некоторые из них говорили то же самое и о варианте доказательства, предложенном мною^{32}, не обратив, судя по всему, внимания на тот факт, что моя формулировка вовсе не настолько «личностна».) Именно возможность сослаться на способности к рассуждению и пониманию, присущие всем «математикам» вообще или «математическому сообществу», позволяет нам избежать необходимости считаться с предположением о том, что различные индивидуумы могут воспринимать математическую истину по-разному, каждый в соответствии с личным непознаваемым алгоритмом. Значительно сложнее смириться с тем, что результатом выполнения некоего непостижимого алгоритма может оказаться коллективное понимание математического сообщества в целом, нежели с тем, что этот самый алгоритм обусловливает математическое понимание всего лишь какого-то конкретного индивидуума. Суть возражения Q11 как раз и заключается в том, что упомянутое коллективное понимание может оказаться совсем не таким универсальным и безличным, каким счел его я.