Тени разума. В поисках науки о сознании

Утверждения, о каких говорится в Q11, действительно, существуют. То есть существуют Π₁-высказывания, единственные известные доказательства которых опираются на то или иное применение теории бесконечных множеств. Такое Π₁-высказывание может быть результатом арифметического кодирования утверждения типа «аксиомы формальной системы F являются непротиворечивыми», где система F подразумевает манипуляции обширными бесконечными множествами, само существование которых может быть сомнительным. Математик, убежденный в реальном существовании некоторого достаточно обширного неконструктивного множества S, придет к выводу, что система F действительно непротиворечива, тогда как другой математик, который полагает, что множества S не существует, вовсе не обязан считать систему F непротиворечивой. Таким образом, даже ограничив рассмотрение одним вполне определенным вопросом о завершении или незавершении работы машины Тьюринга (т.е. ложности или истинности Π₁-высказываний), мы не можем себе позволить не учитывать субъективности убеждений в отношении, скажем, существования некоторого обширного неконструктивно-бесконечного множества S. Если различные математики используют для установления истинности определенных Π₁-высказываний неэквивалентные «персональные алгоритмы», то, по-видимому, с моей стороны несправедливо говорить о просто «математиках» или «математическом сообществе».

Полагаю, что в строгом смысле это действительно может быть несколько несправедливо; и читатель может при желании перефразировать вывод G следующим образом:

G* Для установления математической истины ни один отдельно взятый математик не применяет только те алгоритмы, какие он (или она) полагает обоснованными.

Представленные мною доводы по-прежнему остаются в силе, однако, мне кажется, некоторые из более поздних утратят значительную часть своей силы, если представить ситуацию в таком виде. Более того, в случае формулировки G* все доказательство уходит в направлении, на мой взгляд, бесперспективном, сосредоточенном, в большей степени, на конкретных механизмах, управляющих действиями конкретных индивидуумов, нежели на принципах, лежащих в основе действий любого из нас. Меня же на данном этапе интересует не столько различия подходов отдельных математиков к той или иной математической проблеме, сколько то общее, что есть между нашим пониманием и нашим математическим восприятием.

Попытаемся разобраться, действительно ли мы вынуждены принять формулировку G*. В самом ли деле суждения математиков настолько субъективны, что они могут принципиально расходиться при установлении истинности какого-то конкретного Π₁-высказывания? (Разумеется, доказательство, устанавливающее истинность Π₁-высказывания, может быть просто-напросто быть слишком громоздким или слишком сложным, чтобы его мог воспроизвести тот или иной математик (см. ниже по тексту возражение Q12), т.е. на практике математики вполне могут разойтись во мнениях. Однако в данном случае нас интересует вовсе не это. Мы занимаемся исключительно принципиальными вопросами.) Вообще говоря, математическое доказательство есть вещь не настолько субъективная, как может показаться на основании вышесказанного. Математики могут придерживаться самых разных — и, на их взгляд, неопровержимо истинных — точек зрения по тем или иным фундаментальным вопросам и во всеуслышание объявлять об этом, однако едва дело доходит до доказательств или опровержений каких-либо вполне определенных конкретных Π₁-высказываний, все разногласия тут же куда-то исчезают. Никто не воспримет всерьез доказательство Π₁-высказывания, утверждающего, по сути своей, непротиворечивость некоторой формальной системы F, если математик будет основывать его только лишь на существовании некоего спорного бесконечного множества S. То, что при этом в действительности доказывается, можно сформулировать следующим, куда более приемлемым, образом: «Если множество S существует, то формальная система F является непротиворечивой, и в этом случае данное Π₁-высказывание истинно».