Теорема Гёделя

Теперь мы уже можем сформулировать парадокс Ришара. Определяющее выражение для свойства быть ришаровым числом описывает, очевидно, некоторое арифметическое свойство натуральных чисел. Значит, само определяющее выражение входит в описанную выше последовательность определяющих выражений. Но тогда оно имеет в этой последовательности некоторый номер, который мы обозначим через n. Зададим теперь вполне естественный вопрос (немедленно приводящий к антиномии Ришара): является ли число n ришаровым? Читатель, конечно, сразу увидит, что противоречие теперь неизбежно. В самом деле, число n является ришаровым в том и только в том случае, если оно не обладает свойством, описываемым предложением, имеющим номер n, т. е. не обладает свойством быть ришаровым! Короче говоря, n ришарово тогда и только тогда, когда оно не ришарово, т. е. утверждение «n — ришарово число» является одновременно истинным и ложным.

Следует заметить, что это противоречие в известном смысле есть трюк, который нам удался благодаря не вполне точному соблюдению правил игры. Дело в том, что мы фактически использовали одно допущение, которое, однако, предпочли в явном виде не формулировать. Мы согласились рассматривать определения чисто арифметических свойств натуральных чисел, т. е. свойств, формулируемых в терминах таких понятий, как арифметическое сложение, умножение и т. п. Затем, однако, без дополнительных оговорок мы включили в ту же последовательность определений предложение, сформулированное посредством упоминания о некотором способе записи арифметических свойств. Строго говоря, определение свойства быть ришаровым числом просто не принадлежит к той последовательности определений, которая вначале описывалась, так как это определение использует такие метаматематические понятия, как номер буквы (или вообще знака) в некоторой последовательности. Таким образом, если мы будем четко различать утверждения самой арифметики (относящиеся к числам, а отнюдь не к записям, в которые такие числа входят, т. е. к равенствам, неравенствам и вообще формулам) и утверждения относительно арифметики (т. е. как раз утверждения об арифметических формулах), то мы не получим никакого парадокса Ришара.

Значит, сам по себе парадокс Ришара совсем не страшен. Но сама схема приводящего к нему рассуждения чрезвычайно поучительна и плодотворна. Речь идет о возможности «отображения» (или «перевода») метаматематических высказываний, относящихся к некоторой достаточно богатой формальной системе, в саму систему. Сама по себе идея «перевода» хорошо известна и играет важнейшую роль во многих областях математики. Такая идея лежит, например, в основе всей аналитической геометрии, где геометрические понятия переводятся в алгебраические (арифметические), так что вместо геометрических соотношений мы, по существу, имеем дело с алгебраическими. (Вспомните хотя бы обсуждавшееся в разделе 2 отображение геометрии в алгебру, использованное Гильбертом для доказательства относительной непротиворечивости его системы геометрических аксиом). Такие отображения-«переводы» играют большую роль и в физике, например, когда свойства электрического тока излагаются на языке гидродинамических явлений. Эта же идея перевода лежит в основе технического моделирования — идет ли речь об исследовании свойств модели самолета (или же самолета в натуральную величину) в аэродинамической трубе, или же об изучении в лабораторных условиях распределения каких-либо материальных масс с помощью аналоговой модели, где роль этих масс играют электрические заряды.

На идее отображения[12] основан так называемый принцип двойственности в проективной геометрии, состоящий в возможности взаимной замены в аксиомах (а значит, и в теоремах) проективной геометрии терминов «точка» и «прямая», в результате чего аксиомы переходят в аксиомы (соответственно теоремы — в теоремы). При одном из таких «переводов» слово «точка» можно считать «образом», слово «прямая» — «прообразом»; при обратном переводе роли меняются.